¿Por qué son conjuntos geodésicamente convexos diffeomorphic a $\Bbb R^n$?

Question

En la construcción de una buena cobertura para un colector $M^n$, Bott Y Tu usar el hecho de que cada punto en $M$ está contenida en un geodesically conjunto convexo (después de escoger una métrica de Riemann). Que luego dicen que la intersección de geodesically conjuntos convexos es un geodesically conjunto convexo, y que tiene sentido. Asimismo, la afirmación de que cualquier geodesically conjunto convexo es diffeomorphic a $\Bbb R^n$. Para ello, se referencia Spivak, que en realidad no mostrar el último bit.

Tal vez una manera de hacer esto es para mostrar que el conjunto convexo es en forma de estrella, por lo que la inversa de la imagen con el mapa exponencial es convexa, y de alguna manera diffeomorphic a una pelota, y por lo tanto a $\Bbb R^n$?

Answer 1

Ofrecemos un cuidado demostración del Teorema 5.1 de Bott Y Tu. El cuerpo principal de la prueba es tomada a partir de este MO post.

Deje $M^n$ ser un suave colector. Una cubierta abierta $\{U_\alpha\}$ es buena si cada finito no vacío de intersección $U_{\alpha_1}\cap\cdots\cap U_{\alpha_k}$ es diffeomorphic a $\Bbb R^n$. El objetivo aquí es demostrar el siguiente

Teorema 1. Cada colector tiene una buena cobertura.

Equipar $M$, con una métrica de Riemann $g$. Un conjunto abierto $U\subset M$ dijo estar fuertemente convexa si $p,q\in U$ puede ser acompañado por un único minimizar geodésica contenida totalmente en $U$.

Lema 2. Cada punto en $M$ está contenida en un fuertemente convexa barrio.

Prueba. Ver do Carmo, la Geometría de Riemann, en la página 76. $\quad\Box$

Una muy convexo vecindario $U$ es normal sobre cada punto en $p\in U$, $\exp_p:T_pM\to M$ siempre es un local diffeomorphism.

Proposición 3. $\exp_p^{-1}U$ es en forma de estrella alrededor de $0\in T_pM$.

Prueba. $p$ puede ser conectado a cualquiera de los $q\in U$ por una única geodésica $\gamma$. El uso normal de coordenadas, podemos ver que $0$ puede ser conectado a $\exp_p^{-1}q$ por la línea recta $\exp_p^{-1}\gamma$.$\quad\Box$

La parte difícil de esta prueba radica en la técnica siguiente lema:

Lema 4. Deje $\Omega\subset\Bbb R^n$ ser abierto y en forma de estrella alrededor de $0$. A continuación,$\Omega\approx \Bbb R^n$.

Prueba. El conjunto $F=\Bbb R^n-\Omega$ es cerrado, por lo que me pueda encontrar una suave mapa de $\phi:\Bbb R^n\to \Bbb R_{\ge0}$ tal que $F=\phi^{-1}(0)$. (Véase Lee, Introducción a la Suave Colectores, página 47.) Definir $\lambda:\Omega\to\Bbb R$ por $$\lambda(x)=1+\left(\int_0^{||x||}\frac{\mathrm d t}{\phi(t\hat x)}\right)^2.$$ Desde $\phi$ es no negativa, $\lambda(t\hat x)$ es una función creciente de $t$. Claramente $\lambda$ es suave. Definir una función suave $f:\Omega\to\Bbb R^n,x\mapsto \lambda(x)x$. Deje $A(x)=\sup\{t>0\mid t\hat x\in\Omega\}$. Desde $\lambda$ aumenta a lo largo de $t\hat x$, $f$ asigna el segmento de $[0,A(x))\hat x$ injectively en $\Bbb R_{\ge 0}\hat x$. Tenga en cuenta que $f(0)=0$.

Ahora queremos demostrar que $f(\Omega)=\Bbb R^n$. Debemos investigar el comportamiento de $f$ cerca de la frontera de $\Omega$. Por lo tanto, considerar el límite $$L(x)=\lim_{r\to A(x)}||f(r\hat x)||=\lambda(A(x))A(x).$$ Si $A(x)=\infty$,$L(x)=\infty$. El conjunto $[0,A(x))\hat x$ es acotado si $A(x)<\infty$, por lo que se encuentra en algunas conjunto compacto. A continuación, $D\phi$ es limitado en este juego compacto, y podemos aplicar del Teorema de Taylor con resto. Es decir, desde que $\phi(A(x)\hat x)=0$, tenemos $$\phi(r\hat x)=||\phi(A(x)\hat x+r\hat x-A(x)\hat x)-\phi(A(x)\hat x)||\le M||(r-A(x))\hat x||=M(A(x)-r),$$ donde $M>0$ es una constante. Por lo tanto $$\int_0^{A(x)}\frac{\mathrm d t}{\phi(t\hat x)}\ge \int_0^{A(x)}\frac{\mathrm d t}{M(A(x)-t)}=\infty,$$ por lo $L(x)=\infty$ también en este caso. Por lo tanto $f$ es surjective.

Vamos a mostrar que el $f$ no tiene puntos críticos. Supongamos que $Df_x(h)=0$ algunos $h,x\in\Bbb R^n$. A partir de la definición de $f$, obtenemos $Df_x(h)=\lambda(x)h+D\lambda_x(h)x=0$. Desde $\lambda(0)=1$, esto implica $x\ne 0$. Por lo tanto $h=\mu x$, para algunas de las $\mu\ne 0$. Esto implica $\lambda(x)+D\lambda_x(x)=0$. La función de $g(t)=\lambda(tx)$ es creciente, por lo $g'(1)=D\lambda_x(x)>0$. Esto contradice $D\lambda_x(x)=-\lambda(x)\le -1$. Por lo tanto $f$ es regular en $\Omega$. Por el teorema de la función inversa, $f$ es un local diffeomorphism. Un bijective local diffeomorphism es un mundial diffeomorphism. Por lo tanto $f:\Omega\to\Bbb R^n$ es el deseado diffeomorphism. $\quad\Box$

Cualquier fuertemente convexa barrio es diffeomorphic a una estrella en forma de conjunto abierto en $T_pM$, por lo tanto diffeomorphic a una estrella en forma de conjunto abierto en $\Bbb R^n$, y finalmente diffeomorphic a $\Bbb R^n$ sí.

Teorema 5. Un geodesically convexo conjunto abierto es diffeomorphic a $\Bbb R^n$.

Lema 6. Si $U_1$ $U_2$ son fuertemente convexa, entonces también lo es $U_1\cap U_2$, suponiendo que es no vacío.

Prueba. $U_1\cap U_2$ está abierto. Vamos A Dejar Que $p,q\in U_1\cap U_2$. Deje $\gamma\subset U_1$ ser la geodésica de partida en $p$ ir $q$. En $U_1$, configurar normal coordenadas en $p$, por lo que el $\gamma$ es una línea recta que va a $q$. También podemos hacer esto en $U_2$, lo $\gamma$ es la geodésica conectar $p$$q$$U_2$. Por lo tanto $\gamma\subset U_1\cap U_2$, e $U_1\cap U_2$ es geodesically convexo.$\quad\Box$

Prueba del Teorema. Por el Lema 2, podemos cubrir $M$ con geodesically convexo abierto conjuntos. A continuación, cada grupo en la portada es diffeomorphic a $\Bbb R^n$, y por el Lema 6, cada finito no vacío de intersección es así. $\quad\Box$