Ofrecemos un cuidado demostración del Teorema 5.1 de Bott Y Tu. El cuerpo principal de la prueba es tomada a partir de este MO post.
Deje $M^n$ ser un suave colector. Una cubierta abierta $\{U_\alpha\}$ es buena si cada finito no vacío de intersección $U_{\alpha_1}\cap\cdots\cap U_{\alpha_k}$ es diffeomorphic a $\Bbb R^n$. El objetivo aquí es demostrar el siguiente
Teorema 1. Cada colector tiene una buena cobertura.
Equipar $M$, con una métrica de Riemann $g$. Un conjunto abierto $U\subset M$ dijo estar fuertemente convexa si $p,q\in U$ puede ser acompañado por un único minimizar geodésica contenida totalmente en $U$.
Lema 2.
Cada punto en $M$ está contenida en un fuertemente convexa barrio.
Prueba. Ver do Carmo, la Geometría de Riemann, en la página 76. $\quad\Box$
Una muy convexo vecindario $U$ es normal sobre cada punto en $p\in U$, $\exp_p:T_pM\to M$ siempre es un local diffeomorphism.
Proposición 3.
$\exp_p^{-1}U$ es en forma de estrella alrededor de $0\in T_pM$.
Prueba. $p$ puede ser conectado a cualquiera de los $q\in U$ por una única geodésica $\gamma$. El uso normal de coordenadas, podemos ver que $0$ puede ser conectado a $\exp_p^{-1}q$ por la línea recta $\exp_p^{-1}\gamma$.$\quad\Box$
La parte difícil de esta prueba radica en la técnica siguiente lema:
Lema 4.
Deje $\Omega\subset\Bbb R^n$ ser abierto y en forma de estrella alrededor de $0$. A continuación,$\Omega\approx \Bbb R^n$.
Prueba. El conjunto $F=\Bbb R^n-\Omega$ es cerrado, por lo que me pueda encontrar una suave mapa de $\phi:\Bbb R^n\to \Bbb R_{\ge0}$ tal que $F=\phi^{-1}(0)$. (Véase Lee, Introducción a la Suave Colectores, página 47.) Definir $\lambda:\Omega\to\Bbb R$ por
$$\lambda(x)=1+\left(\int_0^{||x||}\frac{\mathrm d t}{\phi(t\hat x)}\right)^2.$$
Desde $\phi$ es no negativa, $\lambda(t\hat x)$ es una función creciente de $t$. Claramente $\lambda$ es suave. Definir una función suave $f:\Omega\to\Bbb R^n,x\mapsto \lambda(x)x$. Deje $A(x)=\sup\{t>0\mid t\hat x\in\Omega\}$. Desde $\lambda$ aumenta a lo largo de $t\hat x$, $f$ asigna el segmento de $[0,A(x))\hat x$ injectively en $\Bbb R_{\ge 0}\hat x$. Tenga en cuenta que $f(0)=0$.
Ahora queremos demostrar que $f(\Omega)=\Bbb R^n$. Debemos investigar el comportamiento de $f$ cerca de la frontera de $\Omega$. Por lo tanto, considerar el límite
$$L(x)=\lim_{r\to A(x)}||f(r\hat x)||=\lambda(A(x))A(x).$$
Si $A(x)=\infty$,$L(x)=\infty$. El conjunto $[0,A(x))\hat x$ es acotado si $A(x)<\infty$, por lo que se encuentra en algunas conjunto compacto. A continuación, $D\phi$ es limitado en este juego compacto, y podemos aplicar del Teorema de Taylor con resto. Es decir, desde que $\phi(A(x)\hat x)=0$, tenemos
$$\phi(r\hat x)=||\phi(A(x)\hat x+r\hat x-A(x)\hat x)-\phi(A(x)\hat x)||\le M||(r-A(x))\hat x||=M(A(x)-r),$$
donde $M>0$ es una constante. Por lo tanto $$\int_0^{A(x)}\frac{\mathrm d t}{\phi(t\hat x)}\ge \int_0^{A(x)}\frac{\mathrm d t}{M(A(x)-t)}=\infty,$$
por lo $L(x)=\infty$ también en este caso. Por lo tanto $f$ es surjective.
Vamos a mostrar que el $f$ no tiene puntos críticos. Supongamos que $Df_x(h)=0$ algunos $h,x\in\Bbb R^n$. A partir de la definición de $f$, obtenemos $Df_x(h)=\lambda(x)h+D\lambda_x(h)x=0$. Desde $\lambda(0)=1$, esto implica $x\ne 0$. Por lo tanto $h=\mu x$, para algunas de las $\mu\ne 0$. Esto implica $\lambda(x)+D\lambda_x(x)=0$. La función de $g(t)=\lambda(tx)$ es creciente, por lo $g'(1)=D\lambda_x(x)>0$. Esto contradice $D\lambda_x(x)=-\lambda(x)\le -1$. Por lo tanto $f$ es regular en $\Omega$. Por el teorema de la función inversa, $f$ es un local diffeomorphism. Un bijective local diffeomorphism es un mundial diffeomorphism. Por lo tanto $f:\Omega\to\Bbb R^n$ es el deseado diffeomorphism. $\quad\Box$
Cualquier fuertemente convexa barrio es diffeomorphic a una estrella en forma de conjunto abierto en $T_pM$, por lo tanto diffeomorphic a una estrella en forma de conjunto abierto en $\Bbb R^n$, y finalmente diffeomorphic a $\Bbb R^n$ sí.
Teorema 5.
Un geodesically convexo conjunto abierto es diffeomorphic a $\Bbb R^n$.
Lema 6.
Si $U_1$ $U_2$ son fuertemente convexa, entonces también lo es $U_1\cap U_2$, suponiendo que es no vacío.
Prueba.
$U_1\cap U_2$ está abierto. Vamos A Dejar Que $p,q\in U_1\cap U_2$. Deje $\gamma\subset U_1$ ser la geodésica de partida en $p$ ir $q$. En $U_1$, configurar normal coordenadas en $p$, por lo que el $\gamma$ es una línea recta que va a $q$. También podemos hacer esto en $U_2$, lo $\gamma$ es la geodésica conectar $p$$q$$U_2$. Por lo tanto $\gamma\subset U_1\cap U_2$, e $U_1\cap U_2$ es geodesically convexo.$\quad\Box$
Prueba del Teorema.
Por el Lema 2, podemos cubrir $M$ con geodesically convexo abierto conjuntos. A continuación, cada grupo en la portada es diffeomorphic a $\Bbb R^n$, y por el Lema 6, cada finito no vacío de intersección es así. $\quad\Box$
