Una de las formas que encuentro más útiles para comprobar si un determinado ideal I de K[X1,…,Xn] es primo, es mirar el anillo cociente K[X1,…,Xn]/I .
Si soy capaz de demostrar que es isomorfo a K[f1,…,fn] donde fi son polinomios en varias variables entonces he terminado.
Por ejemplo, para comprobar que I=(x1x3−x22,x0x2−x21,x0x3−x1x2) es primo, basta con demostrar que el homomorfismo φ:D[x0,x1,x2,x3]→K[u,v] que lleva x0 a v3 , x1 a uv2 , x2 a u2v y x3 a u3 tiene como núcleo exactamente I . Y esto se puede hacer fácilmente con la base de Groebner. Así que hemos demostrado que el anillo cociente es isomorfo a K[v3,v2u,vu2,u3] que es claramente un dominio integral.
Así que mi pregunta es si esto se puede hacer siempre, es decir, dado un ideal primo I de K[x1,…,xn] ¿es siempre posible encontrar un isomorfismo entre el anillo cociente y K[f1,…,fn] donde fi son polinomios en varias variables.
Si eso no es posible, ¿qué tenemos que pedir para I o a V(I) ¿así que esto es posible?
En caso de que se pueda hacer, ¿hay alguna forma de encontrar estos polinomios?