Generadores del anillo de coordenadas para ideales primos

Question

Una de las formas que encuentro más útiles para comprobar si un determinado ideal $I$ de $K[X_1,\ldots,X_n]$ es primo, es mirar el anillo cociente $K[X_1,\ldots,X_n]/I$ .

Si soy capaz de demostrar que es isomorfo a $K[f_1,\ldots,f_n]$ donde $f_i$ son polinomios en varias variables entonces he terminado.

Por ejemplo, para comprobar que $I=(x_1x_3-x_2^2,x_0x_2-x_1^2,x_0x_3-x_1x_2)$ es primo, basta con demostrar que el homomorfismo $\varphi:D[x_0,x_1,x_2,x_3]\rightarrow K[u,v]$ que lleva $x_0$ a $v^3$ , $x_1$ a $uv^2$ , $x_2$ a $u^2v$ y $x_3$ a $u^3$ tiene como núcleo exactamente $I$ . Y esto se puede hacer fácilmente con la base de Groebner. Así que hemos demostrado que el anillo cociente es isomorfo a $K[v^3,v^2u,vu^2,u^3]$ que es claramente un dominio integral.

Así que mi pregunta es si esto se puede hacer siempre, es decir, dado un ideal primo $I$ de $K[x_1,\ldots,x_n]$ ¿es siempre posible encontrar un isomorfismo entre el anillo cociente y $K[f_1,\ldots,f_n]$ donde $f_i$ son polinomios en varias variables.

Si eso no es posible, ¿qué tenemos que pedir para $I$ o a $V(I)$ ¿así que esto es posible?

En caso de que se pueda hacer, ¿hay alguna forma de encontrar estos polinomios?

Answer 1

No siempre se puede hacer. De hecho, supongo que esta propiedad de $I$ o $V(I)$ es bastante restrictiva.

Si $K[x_1,\ldots ,x_n]/I\cong K[f_1,...,f_m]$ donde el $f_k$ son polinomios en $r$ variables, entonces el campo de la fracción $F$ de $K[x_1,\ldots ,x_n]/I$ es isomorfo sobre $K$ a un subcampo del campo $K(y_1,\ldots ,y_r)$ de funciones racionales en $r$ variables. Así, para el grado de trascendencia $s$ de $F/K$ tenemos $s\leq r$ . Ahora podemos escribir $K(y_1,\ldots ,y_r)$ como $L(y_{s+1},\ldots ,y_r)$ , donde $L=K(y_1,\ldots ,y_s)$ y aplicar un teorema de Roquette y Ohm (Archiv der Mathematik, Vol. 42, No. 2, On subfields of rational function fields, J. Ohm) y concluir que $F$ es isomorfo sobre $K$ a un subcampo de $L$ ya.

Supongamos ahora que $V(I)$ es una curva algebraica. Entonces este argumento muestra que el campo de funciones $F$ de la curva está contenida en $K(y)$ por lo que, por el teorema de Lüroth, la curva tiene género $0$ .