Problema de Desigualdad Factorial

Question

Me encontré con una desigualdad, pregunto, no la inducción matemática para probar eso:

Pruebe \left ( \frac n2 \right )^n > n! > \left ( \frac n3 \right )^n \] sin usando la inducción

Answer 1

Dejemos que $a_n =\displaystyle \frac{2^n n!}{n^n}.$ Tenga en cuenta que $a_6 = 80/81 < 1.$ También tenemos $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} (n+1)! }{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = 2 \left(\frac{n}{n+1}\right)^n < 1.$$ La secuencia $$x_n = \left(1- \frac{1}{n+1} \right)^n$$ es monotónicamente decreciente a $1/e.$ Desde $e>2$ , $a_{n+1}/a_n < 1$ así que $(a_n)$ es una secuencia monotónicamente decreciente. Por lo tanto, la primera desigualdad se mantiene.

Considerando la serie Taylor, $\displaystyle e^x \geq \frac{x^n}{n!}$ para todos $x\geq 0,$ y $n\in \mathbb{N}.$ En particular, para $x=n$ esto da como resultado $$ n! \geq \left( \frac{n}{e} \right)^n $$ y esto es más fuerte que la segunda desigualdad.

Podríamos haber utilizado el mismo método de prueba para la segunda desigualdad que para la primera: Sea $b_n= \displaystyle \frac{3^n n!}{n^n}.$ Entonces $b_6 = 45/4 > 1.$ También, $$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)! }{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n n!} = 3 \left(\frac{n}{n+1}\right)^n $$ y esto es mayor que $1$ desde $e<3.$

Lo que acabamos de hacer sugiere que podemos demostrar lo siguiente: Si $a,b$ son números reales positivos tales que $a<e<b$ entonces $$ \left(\frac{n}{a} \right)^n > n! > \left( \frac{n}{b} \right)^n $$ se mantiene para un tamaño suficientemente grande de $n$ . Esto a su vez sugiere algo más fuerte sobre el crecimiento de la función factorial: $n!$ es asintóticamente igual a $(n/e)^n$ con un factor sub-exponencial como máximo.