Homomorfismo "Inversa" de un monomorfismo de grupo

Question

Asumir $\varphi:H\rightarrow G$ es un monomorfismo de grupo finito. ¿Es cierto que existe un homomorfismo $$\psi:G\rightarrow H$$ tal que $$\psi\circ\varphi=id_H?$$

Answer 1

No en general.

Considere la posibilidad de $G$ cualquier simple grupo de no-primer orden $n$ y deje $p|n$ ser una de las primeras. A continuación, $G$ $\mathbb{Z}_p$ como un subgrupo (del teorema de Cauchy). Así pues, tenemos una monomorphism (la inclusión)

$$f:\mathbb{Z}_p\to G$$

Este monomorphism no tiene la cara inversa, porque sólo hay un homomorphism $g:G\to\mathbb{Z}_p$, es decir, el trivial.

De hecho, si $g$ no es trivial, entonces $\ker(g)$ es normal y adecuada subgrupo de $G$. Desde $G$ es simple, a continuación, $\ker(g)$ tiene que ser trivial y por lo tanto $g$ tiene que ser un monomorphism. Esto es imposible, ya que $p < n$.