Asumir $\varphi:H\rightarrow G$ es un monomorfismo de grupo finito. ¿Es cierto que existe un homomorfismo $$ \psi:G\rightarrow H $$ tal que $$ \psi\circ\varphi=id_H? $$
Respuesta
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No en general.
Considere la posibilidad de $G$ cualquier simple grupo de no-primer orden $n$ y deje $p|n$ ser una de las primeras. A continuación, $G$ $\mathbb{Z}_p$ como un subgrupo (del teorema de Cauchy). Así pues, tenemos una monomorphism (la inclusión)
$$f:\mathbb{Z}_p\to G$$
Este monomorphism no tiene la cara inversa, porque sólo hay un homomorphism $g:G\to\mathbb{Z}_p$, es decir, el trivial.
De hecho, si $g$ no es trivial, entonces $\ker(g)$ es normal y adecuada subgrupo de $G$. Desde $G$ es simple, a continuación, $\ker(g)$ tiene que ser trivial y por lo tanto $g$ tiene que ser un monomorphism. Esto es imposible, ya que $p < n$.
