Convergencia de una serie$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ - ¿Qué prueba?

Question

Intenté probar raíz y razón, pero no funcionó. Además, no puedo usar pruebas integrales (y otras "poco comunes") en esta tarea.

(Demuestre que la serie es convergente)$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} = \frac{1}{2} + \left(\frac{2}{3}\right)^4 + \left(\frac{3}{4}\right)^9 + ...$ $

Answer 1

La desigualdad de Bernoulli dice que para$n\ge1$, $$ \ left (1+ \ frac1n \ right) ^ n \ ge1 + \ frac {n} {n} = 2 $$ Por lo tanto, $$ \ left (\ frac { n} {n +1} \ right) ^ {\ large n ^ 2} \ le \ left (\ frac12 \ right) ^ n $$ Por lo tanto, podemos comparar esto con una serie geométrica.

Answer 2

Incluso si usted no sabe muchos límites, tenga en cuenta que por la expansión de $(1+{1\over n})^n$ y colocar todos los términos, excepto los dos últimos términos de orden, uno ha $(1+{1\over n})^n\ge 1+n\cdot{1\over n}=2$. Así $$0\le\Bigl({n\over n+1}\Bigr)^{n^2}={1\over\bigl[ \,(1+{1\over n})^n\,\bigr]^n}\le {1\over 2^n}.$$ La convergencia de su serie sigue ahora por comparación con la serie geométrica convergente $\sum\limits_{n=1}^\infty (1/2)^n$.

(El uso de los "conocidos" límite de $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+{1\over n})^n=e$, se puede concluir que los términos de $(1+{1\over n})^n$ eventualmente exceder $2$; esto será suficiente para comparar la serie con $\sum\limits_{n=1}^\infty (1/2)^n$. Por supuesto, si usted hace uso de este límite, el uso de la Raíz de la Prueba es un poco más fácil.)

Answer 3

La prueba de raíz debería funcionar.

Observe las siguientes equivalencias:

ps

El lado derecho debería verse muy familiar. Sin duda, puede usar la prueba de comparación de límites para probar la convergencia de su serie.

Answer 4

Podemos interpretar la serie como serie de potencia evaluada en 1. Usando la fórmula de Hadamard obtenemos$1/R = \lim_{n \rightarrow \infty} ((\frac{n}{n+1})^{n^2})^\frac{1}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{-1}{n+1})^{n+1} \frac{n+1}{n} = e^{-1}$ así$R = e > 1$ y la serie converge.