Estimar la escala de $e^{-(m+1) t} \sum _{k=0}^{\infty } \frac{t^k}{k!}\left(\sum _{r=0}^k \frac{t^r}{r!}\right)^{m}$

Question

Me gustaría estimar la escala de la siguiente serie,

$$S(m,t)=e^{-(m+1) t} \sum _{k=0}^{\infty } \frac{t^k}{k!}\left(\sum _{r=0}^k \frac{t^r}{r!}\right)^{m},$$

donde $e$ es la base del logaritmo natural, $m$ es un entero no negativo y $t$ es un número real positivo.

Me di la ecuación en otra forma,

$$S(m,t) = e^{-t} \sum _{k=0}^{\infty } \frac{t^k }{k!}\left(\frac{\Gamma (k+1,t)}{k!}\right)^m.$$ Me di cuenta de que $S(0,t)$ = 1, $S(1,t)$ está altamente relacionado con la pregunta existente producto de Cauchy en exponencial-en busca de alimentación de la serie, y $$S(m_2,t)<S(m_1,t)<1\,\text{ if }\,( 1<m_1<m_2).$$ But I cannot go further in giving an appropriate scale of $S(m,t)$.

Es posible que $S(m, t)$ puede ser estimado como un polinomio de $t$? Estoy interesado en dar una estimación de $S(m,t)$ $S(m,t) = O (t^{-\alpha m}),(\alpha >0 )$ o algo así.
Alguien podría darme alguna pista sobre esto? Gracias de antemano!

Answer 1

Resulta que $S(m,t)=P(A)$ donde $A=[X_{m+1}\geqslant\max\{X_i;1\leqslant i\leqslant m\}]$ $(X_i)_{1\leqslant i\leqslant m+1}$ es yo.yo.d. con distribución de Poisson con parámetro de $t$. Para ver esto, observe que, para cada $k\geqslant0$, $$ P(a\a mediados X_{m+1}=k)=P(X_1,\leqslant k)^m=\left(\mathrm e^{-t}\sum_{i=0}^k\frac{t^r}{r!}\right)^m, $$ y que $$ P(a)=E(P(a\a mediados X_{m+1}))=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathrm e^{-t}\frac{t^k}{k!}P(a\a mediados X_{m+1}=k). $$ Vamos $\mathbf I=\{1,2,\ldots,m+1\}$, $M=\max\{X_i;i\in\mathbf I\}$, $A_J=[\forall i\in J, X_i=M]$ para cada $J\subseteq\mathbf I$, e $B_i=A_{\{1,2,\ldots,i\}}$ por cada $i$$\mathbf I$. A continuación, $P(A_J)=P(B_i)$ por cada $J\subseteq\mathbf I$ del tamaño de la $i$ y $$ S(m,t)=P(B_1). $$ La unión de los conjuntos de $A_{\{i\}}$ $i$ $\mathbf I$ es el universo, por lo tanto $(m+1)P(B_1)\geqslant1$, es decir, $$ S(m,t)\geqslant\frac1{m+1}. $$ En la otra dirección, la determinación precisa de la inclusión-exclusión de la fórmula $$ 1=\sum_{i=1}^{m+1}(-1)^{i+1}{m+1\elegir i}P(B_i), $$ los rendimientos de la desigualdad de $1\geqslant (m+1)P(B_1)-\frac12m(m+1)P(B_2)$ por lo tanto $$ S(m,t)\leqslant\frac1{m+1}+\frac12mP(B_2). $$ En este punto, uno puede escribir $P(B_2)$ como la suma de la obvia la serie, pero no veo la forma de estimar con precisión... tal vez usted tiene una idea?