¿Es Auto-similar?

Question

Permítanme en primer lugar definir la siguiente noción de auto-similitud (no estoy usando el formalismo de la firma porque yo no estoy muy acostumbrado a ella, así que vamos a permanecer intuitivo): se dice que una estructura $A$ tipo $T$ (conjunto, grupo, topológico, espacio, ...) es auto-similar, si existe un subconjunto estricto $B$ $A$ dotado con las mismas operaciones como $A$, pero se limita a $B$ (o la topología de subespacio topológico del espacio) haciendo de $B$ respecto del mismo tipo de estructura de $T$$A$, y un isomorfismo de la estructura de la $T$$A$$B$.

Ex: $(\mathbb{Z},+)$ es auto-similar, porque su isomorfo a cualquier $(n\mathbb{Z},+)$ cero $n$. El límite ordinal $\omega^\omega$ visto como un monoid cuyo conjunto subyacente es una contables distintos de la unión de $\mathbb{N}$ con la propiedad conmutativa y asociativa de la adición define como $(i,n) + (i,m) = (i,n+m)$ todos los $i$$\mathbb{N}$, e $(i,n) + (j,m) = (j,m) = (j,m) + (i,n)$ fib $i < j$ es auto-similar por cualquier turno enviando $(i,m) to (i+j,m)$. El multiplicativo monoid $\mathbb{N}$ también es auto-similar por el retiro y el intercambio de un número finito de números primos y sus múltiples.

Suponiendo que nuestra categoría de la teoría de la vida en algunos universo $\mathcal{U}$, podemos decir que una categoría $\mathcal{C}$ es auto-similar, si existe una subcategoría de $\mathcal{C}$ que es equivalente a $\mathcal{C}$.

Pregunta: es el Conjunto de auto-similar a una subcategoría sin ningún conjunto finito? Yo no estoy muy bien informado en la teoría de conjuntos, pero creo que uno tiene que suponer GCH aquí. Más precisamente, me gustaría "shift" todos los cardenales, el envío de los primeros conjunto finito de un contable de conjuntos, y $2$ en el primer innumerables conjuntos, y así sucesivamente.

He pensado en lo siguiente: enviar el conjunto vacío en el vacío, enviar$1$$\mathcal{P}\mathbb{N}$, envíe $2$$\mathcal{P} \mathcal{P}\mathbb{N}$, envíe $3$ $\mathcal{P} \mathcal{P} \mathcal{P}\mathbb{N}$ y así sucesivamente No sé si esta construcción puede ser extendido a cualquier cardenales, y no parece fácil encontrar una construcción natural para flechas, pero me imagino que existe suponiendo GCH.

Tal vez alguien con buen conocimiento de la teoría de conjuntos tiene una idea?

Answer 1

Esta respuesta es sólo un hombre de paja que cumple con la primera parte de su pregunta acerca de que no finita de conjuntos, pero no la segunda parte sobre el cambio de cardinalidades: tomar la subcategoría $\cal U$$\mathsf{Set}$, lo que incluye todos los objetos de la forma $\Bbb{N} \times X$ y todos los morfismos de $\Bbb{N} \times X \to \Bbb{N} \times Y$ de la forma $(i, x) \mapsto (i, f(x))$ donde $f$ es una función de $X \to Y$. A continuación, $\cal U$ es claramente equivalente a $\mathsf{Set}$ y todos sus objetos son infinitos (cuando se ve desde la perspectiva de $\mathsf{Set}$).

[La siguiente idea no acaba de funcionar: si se asume que su teoría viene equipado con una subcategoría de los cardenales, $\mathsf{Card}$, dicen, con exactamente un conjunto de cada uno de cardinalidad infinita y exactamente uno de morfismos entre dos objetos, entonces usted puede cambiar cardinalidades tomando los objetos a ser $\kappa(X) \times X$ donde $X$ es cualquier conjunto y $\kappa(X)$ es el cardenal equiparada con $\Bbb{N}^{|X|+1}$ y con morfismos de $\kappa(X) \times X \to \kappa(Y) \times Y$ tener la forma $(i, x) \mapsto (t(j), y)$ donde $t$ es el único de morfismos en $\mathsf{Card}$$\kappa(X) \to \kappa(Y)$. No estoy seguro de lo "natural" se podría considerar que la construcción sea. Y por desgracia la subcategoría $\mathsf{Card}$ necesitamos no existe: si $\alpha < \beta$ son los cardenales, a continuación, $1_{\beta} = t \circ s$ donde $s : \beta \to \alpha$ $t : \alpha \to \beta$ es imposible.]

Answer 2

No estoy seguro de que estoy totalmente de entender la pregunta, pero creo que te puedo ayudar.

Si $V$ es un modelo de ZFC, no puede ser una adecuada infraestructura que también modelos de ZFC. En particular, su punto acerca de la iteración conjuntos de poder (y, a continuación, tomar límites) nos conduce a la idea de fuertemente inaccesible cardenales. Su existencia es independiente de ZFC, ya que podemos utilizar para construir interior de los modelos de ZFC. Si $\kappa$ es fuertemente inaccesible, entonces el conjunto de todos los conjuntos con "rango" menos de $\kappa$ es un ejemplo de una interna del modelo.

Alternativamente, usted puede mirar a otro piensa como el edificable universo ($L$) y asumir que $V$ no es edificable.