¿Pruebas element-Wise?

Question

Prueba de element-wise: $$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$ $

Esto es fácil de demostrar mediante el diagrama de Venn, que ya he hecho. Sin embargo, no sé cómo probar utilizando esta técnica. ¿Sé que tiene que ver con que cada uno es un subconjunto, pero no entiendo el método general para demostrarlo formalmente?

Answer 1

Probar "por el elemento sabio" (espero que se está traduciendo; que horrible abuso de lenguaje) significa mostrando que cada lado es un subconjunto de la otra. En otras palabras, el argumento se ve algo como:

Supongamos $x\in A\cup(B\cap C)$; a continuación, .... stuff ...., lo $x\in (A\cup B)\cap (A\cup B)$; por lo tanto, $A\cup(B\cap C) \subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Ahora supongamos que $y\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$. A continuación, ... stuff..., lo $y\in A\cup (B\cap C)$. Por lo tanto, $(A\cup B)\cap (A\cup C) \subseteq A\cup(B\cap C)$.

Ya que cada una está contenida en la otra, $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$. QED.

O usted puede tratar de hacer ambas inclusiones, al mismo tiempo, el uso de equivalencias. Entonces usted tendría algo como

$x\in A\cup (B\cap C) \Longleftrightarrow$ stuff $\Longleftrightarrow$ more stuff $\Longleftrightarrow$ even more stuff $\Longleftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$.

En otras palabras, "elemento", "sabio" significa "persiguiendo un elemento": elija un elemento en un lado, mostrar que tiene que ser en el otro y viceversa. Después de todo, la igualdad de conjuntos se define en términos de las cuales contiene los mismos elementos, no en términos de diagramas de Venn.

Answer 2

$(\Rightarrow)$: Suponga$x \in A \cup (B \cap C)$. Luego$x \in A$ o$x \in B$ y$x \in C$. Entonces$x \in A$ o$x \in B$ y$x \in A$ o$x \in C$. Asi que $x \in (A \cap B) \cap (A \cup C)$.

$(\Leftarrow)$: Prueba este.

Answer 3

"Elemento-sabio" significa usar las definiciones de una intersección y una unión y una igualdad de conjuntos:

$\forall x. x\in(A\cup B) \leftrightarrow x\in A\lor x\in B$

$\forall x. x\in(A\cap B) \leftrightarrow x\in A\land x\in B$

$(A=B) \leftrightarrow (\forall x.x\in A \leftrightarrow x\in B)$

Motivo de$x$ que es "un elemento". Entonces las reglas de deducción de la lógica intuicionista te dan el teorema deseado.