¿Hay interesantes homología 4-bolas con límite $S^3$? ¿Va la otra manera, ninguna homología 4-bola con límite $S^3$ debe homotopía equivalente/homeomórficos/diffeomorphic a $B^4$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Son absolutamente no todos los $B^4$. Dado un suave 4-colector con límite de $S^3$, no hay una única forma de tapa de la frontera componente con una copia de $B^4$, lo que nos da un suave cerrado 4-colector. (Oculto en esta declaración es Cerf bastante trivial teorema que cada diffeomorphism de $S^3$ se extiende sobre la bola de 4.) Si el colector original era una homología de balón, el nuevo colector es una homología de la esfera. Así que tu pregunta es totalmente equivalente a la de "Son todos homología esferas equivalente a $S^4$?"
La primera razón por la que usted no debe creer esto es que ya en 3 dimensiones en el estudio de la homología de las esferas es activo, alegre y bastante confuso. (Como dos piezas de apoyo para esta afirmación: en primer lugar, que hay un libro entero por Saveliev en invariantes de homología de las esferas; segundo, tienen una fuerte relación con el de mayores dimensiones de la topología: Manolescu de la reciente prueba de que no hay ninguna homología de 3 esferas con Rokhlin invariante 1 y $\Sigma \# \Sigma$ delimitador una homología bola implica que existen altas dimensiones no triangulable colectores!)
De hecho hay muy muchos de homología de 4 esferas. Aquí hay un par de maneras de construir algunos.
1) Tomar una homología de la 3-esfera que rodea una homología de bola y de tomar el doble de la homología de la pelota. Un caso fácil es decir $\Sigma \# \overline{\Sigma}$, que delimita el colector de que usted consigue cuando usted túnel a través de un lado a otro de $\Sigma \times [0,1]$. Tomando el doble de esto se presenta una homología de esfera con grupo fundamental de la $\pi_1(\Sigma)$.
2) Tomar una homología de la 3-esfera y la cruz con $S^1$, a continuación, realizar la cirugía en el círculo de $\{*\} \times S^1$. La resultante del colector es una homología esfera con grupo fundamental de la $\pi_1(\Sigma)$. (Me pregunto si esto es en realidad la misma construcción como en el anterior? No lo sé.) Usted también podría hacer esto, pero furl, en cambio, una homología cobordism y cirugía de algunas camino de un lado a otro, lo cual le da mucho más general de la clase de ejemplos.
Uno recentish avanzar en el estudio de la homología de 4 esferas (la solución de un problema en Kirby lista) es la existencia de asféricas de homología de 4 esferas; estos son universales en la dimensión 3, pero parece mucho más difícil de conseguir en las dimensiones superiores. Ver Ratcliffe y Tschantz del papel aquí.
Por supuesto, si usted también demanda que el colector de ser simplemente conectado, el Hurewicz y Whitehead teoremas implica que $M$ es homotopy equivalente a $S^4$, y el Liberto de la clasificación de simplemente conectado cerrado topológico de 4 colectores implica es homeomórficos a $S^4$. Esto nos reduce a la completamente abierta la pregunta de comprensión suave estructuras en $S^4$...
Pensando en simplemente conectado homología de 4 bolas es un enfoque muy popular para la Smooth Poincare Conjecture en 4 dimensiones. Ver este precioso papel por Freedman-Gompf-Morrison-Walker para un particular intento de mostrar ciertos homotopy 4-esferas no son el estándar mostrando que hay nudos en $S^3$ que se rebanada en un exótico 4-esfera, pero no en el estándar. Por desgracia, su enfoque no funciona por dos razones: 1) las esferas se prueba que resultó ser estándar (demostrado 3 días después de la Akbulut, a continuación, algo más de un mes más tarde, Gompf); 2) el invariante (Rasmussen $s$-invariante) que estaban utilizando para tratar de mostrar que los nudos no son suavemente sector en $S^4$, en realidad se desvanece para los nudos que están suavemente rebanada en un exótico 4-esfera, como hacer cada invariante sabemos (de hecho, todos ellos se desvanecen en los nudos que se rebanada en algunos homología de bola de 4!), como lo demuestran Kronheimer-Mrowka. Este enfoque podría ser salvable si se puede encontrar una buena invariantes que (2) no matar, sino de encontrar tal cosa suena difícil, y estoy seguro de que más o menos cada investigador en 4-colector de topología sería muy emocionado si ellos (o!) encontró uno.
