Si $AB=0$ demostrar que $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\leq n$

Question

Dejemos que $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ tal que $AB=0$ . Demostrar que $$\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\leq n.$$

De la información dada, sólo sé que $\mathrm{rank}(AB)=0$ .

Answer 1

Por $AB=0$ el espacio de columnas de $B$ se encuentra en el espacio nulo de $A$ es decir $\mathrm{col}(B)\subset N(A)$ . Esto implica que $\mathrm{rank}(B)=\dim (\mathrm{col}(B))\leq \dim N(A)$ . Entonces, por teorema de la nulidad tenemos $$\mathrm{rank}(B)+\mathrm{rank}(A)\leq \dim N(A)+\mathrm{rank}(A)=n.$$

Nota añadida: Para ver $\mathrm{col}(B)\subset N(A)$ Supongamos que $B=[B_1|\cdots|B_n]$ . Si $x\in\mathrm{col}(B)$ entonces $x=y_1B_1+\cdots+y_nB_n=By$ , donde $y$ es el vector dado por $y=\left[ \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{array} \right]$ . Por lo tanto, $Ax=ABy=0$ desde $AB=0$ .

Answer 2

Utilice la eliminación gaussiana: $A=RA'$ , donde $A'$ es triangular superior y $R$ representa las tranformas de las filas, $B=B'C$ , donde $B'$ es triangular inferior y $C$ representa las transformaciones de las columnas.

La diagonal de $A$ es $a_1, a_2, \ldots, a_n$ y el número de entradas no nulas es el rango de $A$ de forma similar para $B$ .

Las matrices $R, C$ son invertibles, por lo que $0=AB=RA'B'C$ implica $0=A'B'$ . El producto $A'B'$ es una matriz diagonal con entradas $a_1b_1, a_2b_2, \ldots a_nb_n$ todos ellos tienen que ser cero, por lo que $\text{rank}\,A+\text{rank}\,B\le n$ sigue.