Evaluar la integral impropia: exponente de la raíz cuadrada.

Question

Estaba trabajando en un problema de física, que dio me este integral, y necesito solución: $$ \int_{-\infty}^\infty \exp{\left(-\sqrt{x^2 + a^2}\right)} dx $

El problema es, no tienen idea cómo empezar. He probado varios sustitución de variables, ninguna de ellas acertada. Si alguno de ustedes señalar algunas sugerencias de pistas, o incluso cómo llegar a una solución o recursos/referencias/recomendaciones, sería muy apreciado.

Answer 1

Poner $x=a\sinh(t)$, entonces obtendremos después de usar la paridad de la original integrando

$$ I(a)=2a\int_{0}^{\infty}e^{- \cosh(t)}\cosh(t)dt $$

Esto equivale a 10.32.9 aquí y por lo tanto

$$ I(a)=2aK_1(a) $$

donde $K_{\nu}(z)$ denota una versión modificada de Bessel de la función del segundo tipo

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Para hacer esta respuesta un poco más autónomo, i prueba de la indicada representación integral de la función de Bessel

Tenemos que mostrar que

$$ F_{\nu}(a)=\int_{0}^{\infty}e^{- \cosh(t)}\cosh(\nu t)dt=K_{\nu}(a) \quad (\estrellas) $$

Para ello vamos a echar un vistazo a $F^{''}_{\nu}(a)$, donde el $'$ denota un derivado w.r.t. a $a$. Tenemos

$$ F^{"}_{\nu}(a)=\int_{0}^{\infty}e^{- \cosh(t)}\cosh^2( t)\cosh(\nu t)dt=\\ \int_{0}^{\infty}e^{- \cosh(t)}(1+\sinh^2( t))\cosh(\nu t)dt=\\ F_{\nu}(a)+\int_{0}^{\infty}e^{- \cosh(t)}\sinh^2( t)\cosh(\nu t)dt $$

Aquí hemos utilizado la $(\star)$ en la última línea. La próxima vamos a integrar por partes

$$ F^{"}_{\nu}(a)=F_{\nu}(a)+\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty}e^{- \cosh(t)}(\cosh( t)\cosh(\nu t)+\nu\sinh( t)\sinh(\nu t))dt=\\ F_{\nu}(a)-\frac{1}{a}F^{'}_{\nu}(a)+\frac{\nu}{a}\int_{0}^{\infty}e^{- \cosh(t)}\sinh( t)\sinh(\nu t)dt $$

Aquí la primera derivada de la $(\star)$ fue utilizado. Ahora otra integración por partes revela $$ F^{"}_{\nu}(a)=F_{\nu}(a)-\frac{1}{a}F^{'}_{\nu}(a)+\frac{\nu^2}{a^2}\int_{0}^{\infty}e^{-a\cosh(t)}\cosh(\nu t)dt $$

y por lo tanto

$$ F^{"}_{\nu}(a)=F_{\nu}(a)-\frac{1}{a}F^{'}_{\nu}(a)+\frac{\nu^2}{a^2}F_{\nu}(a) $$

lo que significa que $F^{''}_{\nu}(a)$ llena la Bessel modificada de la ecuación y $(\star)$ es de hecho verdad. Para justificar que realmente hemos encontrado un representante de $K_{\nu}(a)$ nos tenga en cuenta que $F_{\nu}(a)$ decae a cero en $a\rightarrow \infty$, en contraste con la otra solución de la Bessel modificada de la ecuación de $I_{\nu}(a)$ que está creciendo de manera exponencial para grandes argumentos.

QED