$\lim_{x\to \pi/2} \;\frac 1{\sec x+ \tan x}$

Question

Cómo resolverlo respuesta es $0$ y $\frac 1{\infty + \infty}$ forma indeterminada

$$\lim_{x \to \pi/2} \frac 1{\sec x + \tan x}$$

Answer 1

Aclaración:

$$\lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+} \frac{1}{\sec x + \tan x} \to \frac{1}{\infty} = 0$$

$$\lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-} \frac{1}{\sec x + \tan x} \to -\frac{1}{\infty} = 0$$

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac 1{\sec x + \tan x} \to \frac{1}{\infty} = 0$$

En otras palabras, el límite es de $\,\to \frac 1{\infty}\,$ no de la forma indeterminada: el límite en ambos casos es igual a cero.

Creo que reconociendo su función $$f(x) = \frac 1{\tan x + \sec x} = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$$ makes the limit as $x # \to \pi/2$ tal vez más evidente.

Answer 2

Tenemos $x$ $\cos x \ne 0$\begin{align} \frac 1{\tan x + \sec x} &= \frac 1{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac 1{\cos x}}\ &= \frac{\cos x}{1 + \sin x} \end{align} y por lo tanto \ [\lim{x \to \frac \pi 2} f (x) = \lim{x\to\frac\pi 2} \frac{\cos x} {1 + \sin x} = \frac{\cos \frac \pi 2} {1 + \sin \frac \pi 2} = \frac{0}{1 + 1} = 0. ]

Answer 3

Para solucionar esto, lo mejor sería convertir el $\sec x$ $\frac{1}{\cos x}$. y $\tan x$ $\frac{\sin x}{\cos x}$ por lo que tendremos

$$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}}$$

Ahora tenemos que deshacernos de la fracción en el denominador. Por lo tanto multiplicar por $\cos x$ por lo que tendremos:

$$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}}$$

Cuando entonces se convierte en

$$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1 + \sin x}$$

Entonces sub $\pi/2$ y se oro.

$$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{1 + \sin \frac{\pi}{2}}$$

Y la respuesta será $0$. Por lo tanto el límite es de $0$.

Answer 4

Sugerencia: "racionalizar".

$$\frac 1{\sec x + \tan x}=\frac {\sec x - \tan x}{(\sec x)^2 - (\tan x)^2}=\sec x - \tan x=\frac{1-\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{1-\sin^2(x)}{\cos(x)(1+\sin(x))}$$

Answer 5

$$\lim_{x \to \frac\pi2} \frac 1{\sec x + \tan x}$$

$$=\lim_{y \to 0} \frac 1{\sec \left(\frac\pi2-y\right) + \tan \left(\frac\pi2-y\right)}$$ (Putting $\frac\pi2-x=y,$ as $x \to \frac\pi2,y\to0$)

$$=\lim_{y \to 0} \frac 1{\csc y + \cot y}$$

$$=\lim_{y \to 0} \frac {\sin y}{1 + \cos y}$$

$$=\lim_{y \to 0} \frac {2\sin \frac y2\cos\frac y2}{2\cos^2\frac y2}$$

$$=\lim_{y \to 0} \tan \frac y2$$ as $\cos\frac y2\ne0$

$$=0$$