Los elementos de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2,\sqrt{-5}+1)$

Question

Estoy realmente confundido con este...

¿Cómo puedo determinar los elementos del módulo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2,\sqrt{-5}+1)$ ? ¿O su cardinalidad?

Hace $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2,\sqrt{-5}+1)=\{\bar{0},\bar{1},\overline{0+\sqrt{-5}}\}?$$

Answer 1

Casi. Llamemos a $\alpha:=\sqrt{-5}$ y que $a\equiv b$ denotan que $a-b\in\, (2,\,1+\alpha)$ . Entonces, como $1\equiv -1$ También tenemos $$1+\alpha\equiv 0 \ \implies\ \alpha\equiv -1\equiv 1$$ Así, el cociente sólo tiene $2$ elementos.

Para $0\not\equiv 1$ observe que $a+b\alpha\in (2,\,1+\alpha)\,\implies\,2\,|\,a+b$ .

Answer 2

La perspectiva de la teoría de números de este problema es: la factorización ideal de primos.

El ideal primario $(2)$ en $\mathbb{Z}$ está totalmente ramificado en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

y el ideal $(2, 1+\sqrt{-5})$ es un ideal primo situado sobre $(2)$

En $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ podemos escribir $$ (2)=(2, 1+\sqrt{-5})^2,$$ y esto se puede comprobar por cálculo directo.

Así, la extensión del campo de residuos $$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2, 1+\sqrt{-5})$$ es una extensión trivial del campo finito $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

es decir $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2, 1+\sqrt{-5})\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$$

Answer 3

Recordemos que $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}.$$ Por lo tanto, como grupo abeliano (es decir, olvidando por un segundo la estructura multiplicativa), podemos hacer un isomorfismo. $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\cong\mathbb{Z}^2,\quad 1\mapsto (1,0),\quad \sqrt{-5}\mapsto (0,1).$$ Bajo este isomorfismo, el ideal $(2)\subset\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ corresponde al subgrupo de $\mathbb{Z}^2$ generado por $(2,0)$ y $(0,2)$ . Por lo tanto (de nuevo, como grupos abelianos) $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2)\cong \mathbb{Z}^2/\langle (2,0),(0,2)\rangle\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2,$$ y porque los representantes de $\mathbb{Z}^2/\langle (2,0),(0,2)\rangle$ son $$\overline{(0,0)},\quad \overline{(1,0)},\quad \overline{(0,1)},\quad \overline{(1,1)},$$ podemos deshacer nuestro isomorfismo y concluir que los representantes de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2)$ son $$\overline{0},\quad \overline{1},\quad \overline{\sqrt{-5}},\quad \overline{1+\sqrt{-5}}.$$ Ahora, $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2,1+\sqrt{-5})$ es sólo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2)$ cotizando además por $1+\sqrt{-5}$ (o más bien $\overline{1+\sqrt{-5}}$ ).

Podría determinar cuál de $$\overline{0},\quad \overline{1},\quad \overline{\sqrt{-5}},\quad \overline{1+\sqrt{-5}}$$ difieren en un múltiplo de $1+\sqrt{-5}$ (Recuerda, esto significa un $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ -múltiples no es un $\mathbb{Z}$ -múltiple), o determinar cuál es el ideal $(2,1+\sqrt{-5})$ corresponde como subgrupo de $\mathbb{Z}^2$ o computar los representantes modulo $1+\sqrt{-5}$ de estos cuatro elementos.

Answer 4

Considere el mapa $\phi: \mathbb{Z}[\sqrt{-5} ] \to \mathbb{Z}_2 $ dado por $\phi( a+b\sqrt{-5})= a+b.$ Se trata de un homomorfismo de anillo sobreyectivo; la parte más difícil de comprobar es que respeta la multiplicación.

• $\phi\left( (a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5}) \right) = \phi ( (ac-5bd)+ (ad+bc)\sqrt{5} ) = ac - 5bd + ad+bc$
• $\phi( a+ b\sqrt{-5} ) \phi (c+d\sqrt{-5} ) = (a+b)(c+d) = ac + ad+bc+bd$

Estos son realmente iguales en $\mathbb{Z}_2.$ Está claro que $(2,1+\sqrt{-5})\subseteq \ker \phi.$

Si $a+b\sqrt{-5} \in \ker \phi $ entonces $ a=-b \in \mathbb{Z}_2 $ así que $a=-b+2k$ para algunos $k\in \mathbb{Z}.$ Por lo tanto, $a+b\sqrt{-5} = 2(k-b) + b(1+\sqrt{-5})\in (2,1+\sqrt{-5})$ así que $\ker \phi = (2,1+\sqrt{-5}).$ El primer teorema de isomorfismo da el resultado.

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Según la respuesta borrada de BenjaLim, tenemos

$$\begin{eqnarray*} \Bbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2,1 + \sqrt{-5}) &\cong& \Bbb{Z}[x]/(x^2 + 5)/(2,1+x)/(x^2 + 5)\\ &\cong& \Bbb{Z}[x]/(2,1+x)\\ &\cong& \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\end{eqnarray*}.$$

OP preguntó por qué el último isomorfismo se mantiene. Es porque $\mathbb{Z}[x]/(1+x) \cong \mathbb{Z}.$ Para ver esto, considere el homomorfismo $\varphi: \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}$ dado por $\varphi( p(x) ) = p(-1).$ No es difícil comprobar que es sobreyectiva con el núcleo $(1+x)$ que produce el isomorfismo. Entonces

$$\begin{eqnarray*} \Bbb{Z}[x]/(2,1 + x) &\cong& \Bbb{Z}[x]/(x+1)/(2,1+x)/(x+1)\\ &\cong& \Bbb{Z}/(2)= \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\end{eqnarray*}.$$