Determinar los dos últimos dígitos de $229^{10} +37^{10}$

Question

Determina los dos últimos dígitos de: $229^{10}+37^{10}.$ No quiero utilizar la función del cociente de Euler ni la función de Carmichael, por favor. Gracias

Answer 1

Una pista:

puede ver que $229^{10}=(220+9)^{10}\equiv 9^{10}\equiv729^3\cdot9\equiv29^3\cdot9\equiv 1\pmod{100}$ ,

también $37^{10}\equiv 7^{10}\equiv49\pmod{100}$ ,

por lo que $229^{10}+37^{10}\equiv 50\pmod{100}.$

Answer 2

Aplicando teorema del binomio se puede reescribir $$ 229^{10}+37^{10} = (230-1)^{10} + (40-3)^{10} \\ =230^{10} - \binom{10}{1}230^9+\binom{10}{2}230^8- \ldots +\binom{10}{8}230^2-\binom{10}{9}230+1\\ +40^{10} - \binom{10}{1}40^9 3+\binom{10}{2}40^8 3^2- \ldots +\binom{10}{8}40^2 3^8-\binom{10}{9}40\cdot 3^9+3^{10}\\ =(......00 -10\cdot230+1)+(.......00-10\cdot40\cdot3^9+3^{10}), $$ por lo que los dos últimos dígitos de $$229^{10}+37^{10}$$ son los mismos que los dos últimos dígitos de $$1^{10}+3^{10}.$$

Answer 3

$37^{10}\equiv 7^{10}\equiv 49\pmod{100}$

$229^{10}\equiv 9^{10}\pmod {100}$

$\begin{align}9^3\equiv 29\pmod {100}, 9^2\equiv-19\pmod{100} & \implies 9^5\equiv -(29\cdot19)\pmod{100}\\&\implies 9^5\equiv -551\pmod{100}\\&\implies 9^5\equiv -51\pmod{100}\\&\implies 9^{10}\equiv 1\pmod{100}\end{align}$

Answer 4

Necesitamos $229^{10}+37^{10}\pmod{100}$

Como $100=4\cdot25$ donde $(4,25)=1$

$229\equiv1\pmod4\implies229^{10}\equiv1;37\equiv1\pmod4\implies37^{10}\equiv1$

$\implies229^{10}+37^{10}\equiv1+1\pmod4\equiv2\ \ \ \ (1)$

Otra vez, $229\equiv4\pmod{25}\implies229^{10}\equiv4^{10}$

Pero $4^{10}=(2^2)^{10}=2^{20}$

y $37\equiv12\pmod{25}\equiv2^23\implies37^{10}\equiv(2^23)^{10}\equiv2^{20}3^{10}$

$\implies229^{10}+37^{10}\equiv2^{20}(1+3^{10})\pmod{25}$

Otra vez, $3^3=27\equiv2\pmod{25}\implies3^{10}=3(3^3)^3\equiv3(2)^3\pmod{25}\equiv-1$

$\implies229^{10}+37^{10}\equiv1-1\pmod{25}\equiv0\ \ \ \ (2)$

Aplicar ahora Resto de China Teorema sobre $(1),(2)$