$\mathbb{R}$ como $\mathbb{Q}$ el espacio vectorial tiene una base medible de Lebesgue

Question

Después de estudiar algo de teoría de la medida encontré esta frase sin pruebas.

$$\mathbb R \quad \text{as a} \quad \mathbb Q \quad \text{vector space has a lebesgue measurable basis}$$

Se da una pista : Analizar la familia de todos $\mathbb Q$ -subconjuntos lineales independientes del conjunto de Cantor para los elementos maximales.

Tengo cero pistas sobre cómo progresar con esto así que si alguien está interesado en revisar esto se lo agradecería con gusto. Gracias.

Answer 1

Tal vez podrías demostrar primero que el conjunto de Cantor es $C=\{\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x_n}{3^n}:\ x_n\in \{0,2\} \}$ . Con esto en mente se puede probar lo que TZakrevskiy dijo en los comentarios. Esto significa que $Span(C)=\mathbb{R}$ porque $\mathbb{R}=Span[0,2]=Span(C)$ . Por el lema de Zorn se puede encontrar un subconjunto linealmente independiente máximo $\beta$ dentro de $C$ . Puede ver que $Span(\beta)\supseteq C$ así que $Span(\beta)=\mathbb{R}$ .

Esto concluye el resultado porque todo subconjunto de un conjunto nulo es medible por Lebesgue.