Calculando

Question

Estoy siguiendo algunas notas que dicen que $\exp(3x) = 1 + 3x + \frac{9}{2}x^2 + \frac{9}{2}x^3 = 1 +3x+18x^2+18x^3 \pmod{27}$

No puedo entenderlo. En primer lugar ¿por qué dejamos la expansión después de 4 términos? Y en segundo lugar no veo por qué $ \frac{9}{2}x^2 + \frac{9}{2}x^3 = 18x^2+18x^3 \pmod{27}$

¿Alguien podria por favor explicarme lo que me? Quiero seguir el mismo método para $\log(1+5x) \pmod{5^4} $

Gracias de antemano

Answer 1

$$e^{3x}=\sum{k=0}^\infty\frac{(3x)^k}{k!}=1+3x+\frac{9x^2}2+\underbrace{\frac{9x^3}2}{=\frac{27}{3!}}+\underbrace{27\left(\frac{x^4}{8}+\frac{3x^5}{40}+\ldots\right)}_{=0\pmod{27}}$$

y ahora Compruebe que

$$\frac12=2^{-1}=14\pmod{27}\implies \frac92=9\cdot14=18\pmod{27}$$

lo que finalmente conseguimos

$$e^{3x}=1+3x+18x^2+18x^3\pmod{27}$$

Answer 2

%#% $ de #% los términos de grado más que 3 son múltiplos de 27