mostrando que $(\int f )(\int g) \geq 1$

Question

Dejar $\mu(X) =1$.
Deje$f,g \in L^1(X)$ dos funciones positivas que satisfagan$f(x) g(x)>1$ para casi todo$x$, luego$$\left(\int f ~dx\right) \left(\int g~dx\right) \geq 1.$ $

Demuestre también que si$f,g\in L^2(X)$ con$\int f ~dx= 0$, entonces$$\left(\int fg~dx\right)^2 \leq \left[ \int g^2 ~dx - \left(\int g~dx\right)^2 \right] \int f^2~dx.$ $

Creo que tengo que usar la desigualdad de Holder para ambas preguntas:

Para la primera pregunta, ya que$\mu(X) =1$,$1\lt \int fg~dx$. ¿Cómo aplico la desigualdad de Holder?

Answer 1

Insinuación:

Para la primera desigualdad, use Hölder para$\sqrt{gf}$.

Answer 2

Para el primero, intente aplicar la desigualdad a$\int \sqrt{f g}$ y obtenga un límite inferior para$\int \sqrt{f g}$.

Por el segundo, deje$\overline{g} = \int g$ y aplique la desigualdad a$\int f (g-\overline{g})$.