Considere la fibra secuencia $\Bbb{CP}^\infty \to B\text{Spin}^c(n) \to BSO(n).$ Cosas son más fáciles, si usted elige un modelo de este fibration en que $\Bbb{CP}^\infty$ es un grupo, y esta es una de las principales $G$-bundle.
Un breve punto principal de paquetes: dado un director de $G$-bundle $P \to B$, hay asociado un paquete de grupos, $\text{Aut}(P)$; hay un isomorfismo de grupos de $\text{Aut}(P)_x \cong G$ (un automorphism de la $G$-establecer $P_x$ está dada por la derecha-multiplicación por algún elemento de $G$). Este paquete no es necesariamente trivial, pero si $P$ tenía la transición de las funciones de $\rho_{\alpha \beta}: U_{\alpha \beta} \to G$ actuando sobre los elementos de la $G$ por la izquierda-la multiplicación, entonces la transición de las funciones de $\text{Aut}(P)$ actuar sobre los elementos de la conjugación por $\rho_{\alpha \beta}$ en lugar de a la izquierda de la multiplicación. En particular, si $G$ es abelian, este paquete es trivial, y las secciones de $\text{Aut}(P)$ son solo mapas de $B \to G$.
Ahora, dados dos secciones $\sigma_1$$\sigma_2$$P$, hay un automorphism $g$ $P$ determinado por el envío de $\sigma_1(x)g(x) = \sigma_2(x)$. Debido a que tanto $\sigma_1$ $\sigma_2$ son continuas secciones, como es la inversión de la operación en $G$, $g: B \to \text{Aut}(P)$ continuo. Vemos que $\Gamma(P)$ actúa simplemente transitivamente por $\Gamma(\text{Aut}(P))$ - proporcionada $\Gamma(P)$ es no vacío. Al $G$ es abelian, $\Gamma(\text{Aut}(P)) = \text{Map}(M, G)$, como en el anterior.
Supongamos que usted tiene una orientada al vector paquete de $E$ (codificado por un mapa $f: X \to BSO(n)$), $\text{spin}^c$ estructuras en $E$ son la misma cosa, como ascensores $\tilde f: X \to B\text{Spin}^c(n)$. Este es el mismo como el espacio de secciones de un director de una $\Bbb{CP}^\infty$-bundle escrito $\text{Spin}^c(E)$, el lote cuya fibra por encima de $x$ es el espacio de la $\text{spin}^c$ estructuras en $E_x$ (este es el pullback a $X$ de la fibra de la secuencia en la primera línea de esta respuesta). Lo que fue escrito anteriormente es que la selección de un elemento de $\Gamma(\text{Spin}^c(E))$ da un canónica bijection con $\text{Map}(X, \Bbb{CP}^\infty)$. (Por supuesto, esto es suponiendo que no existe un $\text{spin}^c$ estructura $E$!)
Pasando a homotopy clases, vemos que el espacio de $\text{spin}^c$ estructuras en $E$ hasta el isomorfismo es actuado simplemente transitivamente por $[X, \Bbb{CP}^\infty] = [X, K(\Bbb Z,2)] = H^2(X;\Bbb Z)$, suponiendo que no era una $\text{spin}^c$ estructura, para empezar.
Otro argumento (esencialmente el mismo como esta) se ejecuta a través de la obstrucción de la teoría, que determina si es o no existen ascensores y cuántos son; el punto es que $H^n(X;\pi_n F)$ es cero sólo para $n = 2$, donde se obtienen $H^2(X;\Bbb Z)$. La existencia de un ascensor está determinado por una clase en $H^3(X;\Bbb Z)$, que resulta ser $\beta w_2(E)$ donde $\beta$ es el Bockstein mapa.
