Cuál sería un ejemplo de la doble integral $f$ $ $\int_0^1 \int_0^1 f dx dy = \int_0^1 \int_0^1 f dx dy
¿O tal vez no existe tal $f$ (que lo dudo)? Los integrales son Lebesgue.
Respuesta
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Voy a suponer que $f$ es medible (de lo contrario la integral doble no tiene sentido).
En este caso, no hay ningún contraejemplo, desde su asunción en la integral doble implica $\int_{[0,1]^2} f_+ d(x,y)=\infty$ $\int_{[0,1]^2} f_- d(x,y)<\infty$ (donde $f_+$ $f_-$ denotar el positivo/negativo partes de $f$).
Pero ahora, el Fubini-Tonelli teorema de los rendimientos
\begin{eqnarray*} \int_{[0,1]}\int_{[0,1]} f_+ (x,y) \,dx\,dy =\infty\\ \int_{[0,1]}\int_{[0,1]} f_-(x,y) \,dx\,dy <\infty \end{eqnarray*} y análogamente para los otros pedidos de las integrales. En particular, el "interior" integral sobre la $f_-$ es finito para casi todos los $y$.
La adición de estas dos identidades muestra $$ \int_{[0,1]}\int_{[0,1]} f(x,y) \, y\, dx=\infty $$ y de la misma manera para los otros pedidos.
