prueba mediante el principio de la casillera

Question

Estoy luchando por encontrar una prueba a la siguiente pregunta (de cut-the-knot.org):

Demuestra que si n es impar, entonces para cualquier permutación $p$ del conjunto $\{1,2,3...,n\}$ el producto $$P(p) = (1-p(1))(2-p(2)) \cdots (n-p(n))$$ es necesariamente par.

Mi mejor suposición : Cosas que potencialmente podrían no dar lugar a un número impar

1. un número par de $p$ que podría restarse de una contraparte numérica de impar en $P(p)$
2. viceversa

Como hay más números Impares en p que pares en $P$ siempre quedará un número impar fuera que se unirá a un número impar en $P$ para producir un número par que haga que todo el producto sea par

Answer 1

Llame a $i - p(i)$ una "parte par" si $i$ es par y una "parte impar" si $i$ es impar.

Si ambos $i$ y $p(i)$ son impar para algunos $i$ entonces $i - p(i)$ es uniforme, lo que hace que $P(p)$ para estar en paz. Como $n$ es impar, hay menos partes pares en el producto (casillas) que números Impares en el conjunto $\{1, \dots, n\}$ (palomas). De ello se desprende que $p(i)$ es impar para al menos una parte impar, de lo que se desprende la afirmación.

Answer 2

Desde $$\sum_{k=1}^n(k-p(k))=0$$ es un número par y como $n$ es impar, existe al menos uno de $1\le k\le n$ , de tal manera que $k-p(k)$ es par, porque si no, la suma debe ser un número impar. Por lo tanto, el producto $P(p)$ debe ser uniforme.

Answer 3

Si $n$ es impar $n=2k+1$ para algunos $k$ . Entonces $\{1,2, ... n\}$ contiene $k+1$ Números Impares y $k$ números pares. Por lo tanto, sólo hay $k$ números pares para que los números Impares sean mapeados para que uno de los números Impares, digamos $i$ debe asignarse a un número impar $p(i)$ . Pero un número impar menos un número impar es incluso así $(i-p(i))$ es par y, por tanto, el producto es par.