determinante divisible por 13

Question

Pregunta: Dado: $195,403$ y $247$ son divisibles por 13.

Probar (sin calcular realmente el determinante) que

$$\det \begin{bmatrix} 1 & 9 & 5 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

es divisible por 13.

Lo que hice:

Aparte de calcular el determinante y ver que es verdad, no podía pensar en otra cosa...

Gracias

Answer 1

Pista: Si multiplicas la primera columna por $100$ ¿cómo cambia eso el determinante? Entonces si agregas la tercera columna a la primera, ¿cómo cambia eso el determinante?

Answer 2

• Empezamos probando que $x$ es divisible por 13 si y sólo si $100x$ también es divisible por 13:

• $\Rightarrow $ Si x es divisible por 13 entonces $x=13n \Rightarrow 100x=100(13n)=13(100n)$ Así que es divisible como bueno.

• $\Leftarrow$ Si 100x es divisible por 13 entonces $100x=13n$ pero como 100 no es divisible por 13, $x$ debe tener 13 como factor. Por lo tanto $x$ es divisible por 13.

• Ahora probamos lo que se pidió: $100 detA=100\cdot det \begin{bmatrix} 1 & 9 & 5 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ = $det \begin{bmatrix} 100 & 9 & 5 \\ 200 & 4 & 7 \\ 400 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ = (operaciones elementales de columna que no cambian el determinante) \= $det \begin{bmatrix} 195 & 9 & 5 \\ 247 & 4 & 7 \\ 403 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ = (extrayendo 13 de la primera columna) $13 det\hat A$ ( $det \hat A$ es el determinante después de la extracción de 13 de la primera columna)

• Ahora bien, desde $100detA$ es divisible por 13, $detA$ también es divisible por 13.