Esta es mi primera pregunta y espero que no se considera demasiado argumentativo.
A menudo es útil para cambiar la métrica de un espacio para un equivalente delimitada métrica.
Tradicionalmente, la gente usa $$ \delta(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}. $$ Por ejemplo, para la métrica de producto de espacios: uno equipa $$ \prod_{i=1}^\infty X_i $$ con la métrica $d(x,y) = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i+1}} \delta_i(x,y) = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i+1}} \frac{d_i(x,y)}{1+d_i(x,y)}$.
Del mismo modo, cuando se trata de equipar la unidad de la bola del espacio dual de un separables normativa espacio con una métrica de la inducción de los débiles$^\ast$-topología, la gente tiende a usar una construcción con $\delta$. O cuando metrizing convergencia en medida sobre un espacio de probabilidad.
Hay una real ventaja de esta métrica más de, digamos, $$ d'(x,y) = \min\{d(x,y),1\}\: ? $$ Es mucho más fácil comprobar que $d'$ es un equivalente métrico en $(X,d)$ de demostrar que $\delta$ es un equivalente métrico. Entonces, ¿por qué la gente usa $\delta$?
La única razón por la que puedo imaginar (aparte de la tradición) es que el conocimiento $\delta$ se puede recuperar $d$. Pero es esta una razón suficiente para utilizar esta más complicado de la construcción?
