Demostrar que $(n!)^2$el % es mayor que $n^n$ para todos los valores de n mayor que 2.

Question

Supongo que este problema, puede demostrarse mediante la inducción, sin embargo estoy tratando de encontrar otra manera.

¿Hay un simple enfoque combinatorio? Uno nota que $(n!)^2$ es igual al número de permutaciones de n tamaño cuadrado, y que $n^n$ es el número de combinaciones redundantes donde hay espacios números y números opciones.

Cualquier ayuda sería mucho apreció.

Gracias

Answer 1

Esto no es combinatorio, pero tenga en cuenta $$(n!)^2=\prod_{k=1}^n k(n+1-k).$ $ (que son en esencia con el truco de "Bebé Gauss"). Pero si $k$ no $1$ o $n$, tenemos $k(n+1-k)\gt n$.

Answer 2

dividir $(n!)^2 > n^n$ $n!$ llegar

$$n! = 1 \times 2 \times \ldots \times (n-1) \times n > \frac{n}{n} \times \frac{n}{n-1} \times \ldots \times \frac{n}{2} \times \frac{n}{1}$$

Es un poco de manipulación algebraica simple para mostrar que cada término en el lado izquierdo es mayor o igual al término correspondiente en el lado derecho, o $\frac{n}{n-k}