Algunas declaraciones sobre mapas lineales y espacios vectoriales

Question

Me siento mal por la publicación de otro hilo, sin ser capaz de aportar nada, pero estas declaraciones han sido puestos en mi álgebra lineal conferencia sin ninguna prueba para ellos y no me queda claro del todo cómo es el caso. Si alguien me podría dar alguna breve explicación o me apunte a donde puedo mirar una prueba yo estaría muy agradecido!

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Deje $V,W$ ser espacios vectoriales y deje $f:V\rightarrow W$ ser lineal. Entonces:

1. Si $A\subset V$ es un generador de $V$, $f(A)$ es un generador de $f(V)$.

2. Si $\{a_1,...,a_n\}\subseteq V$ es linealmente dependiente, entonces $\{f(a_1),...,f(a_n)\}\subseteq W$ es así.

3. En el caso general,$\dim(f(V))\leq \dim(V)$. Puede encontrar ejemplos de $=$ $<$ respectivamente?

Answer 1

Si $A\subset V$ es un generador de $V$, $f(A)$ es un generador de $f(V)$.

Supongamos que un conjunto de vectores $A = \{\mathbf{v}_k \}_{k=1}^n$ genera $V$. Esto significa que podemos escribir cualquier $\mathbf{v} \in V$$\mathbf{v} = \displaystyle \sum_{k=1}^n c_k\mathbf{v}_k$, donde el $c_k$'s son constantes en algún campo, tales como $\mathbb{R}$. Entonces, ¿qué acerca de los vectores en el espacio $f(V)$? Vectores en $V$ puede ser escrito como la suma anterior, por lo tanto los vectores son aquí de la forma $\displaystyle f \left( \sum_{k=1}^n c_k\mathbf{v}_k \right)$. Desde $f$ es lineal mapa, podemos reescribir esto como:

$$f \left( \sum_{k=1}^n c_k\mathbf{v}_k \right) \ = \ \sum_{k=1}^n f(c_k \mathbf{v}_k) \ = \ \sum_{k=1}^n c_k f(\mathbf{v}_k)$$

Esto demuestra que los vectores en $f(V)$ se puede escribir como una combinación lineal de los vectores en el conjunto $\{f(\mathbf{v}_k) \}_{k=1}^n = f(A)$. En otras palabras, $f(A)$ genera $f(V)$.

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Si $\{a_1,...,a_n\}\subseteq V$ es linealmente dependiente, entonces $\{f(a_1),...,f(a_n)\}\subseteq W$ es así.

Un conjunto de vectores $\{\mathbf{v}_k\}_{k=1}^n$ se denomina linealmente dependiente cuando la ecuación de $\displaystyle \sum_{k=1}^n c_k\mathbf{v}_k = 0$ tiene una solución en la que el $c_k \neq 0$ durante al menos un $k$. En otras palabras, $\{\mathbf{v}_k\}_{k=1}^n$ es un conjunto linealmente dependiente de cuando podemos encontrar algunos que no son triviales combinación lineal de los vectores de dar a cero. Aplicar el mismo truco de antes:

$$f \left( \sum_{k=1}^n c_k\mathbf{v}_k \right) = \ \sum_{k=1}^n f(c_k \mathbf{v}_k) \ = \ \sum_{k=1}^n c_k f(\mathbf{v}_k)$$

Debido a $f$ es lineal, $f(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$. Así que una combinación lineal no trivial de la $\mathbf{v}_k$'s, que se da cero "puede ser factorizada a través de" $f$ arriba para obtener una combinación lineal no trivial de $f( \mathbf{v}_k)$'s también dar cero. Esto muestra una dependencia lineal del conjunto $\big\{ f( \mathbf{v}_k) \big\}_{k=1}^n$.

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En el caso general,$\dim(f(V))\leq \dim(V)$. Puede encontrar ejemplos de $=$ $<$ respectivamente?

Este hecho está implícito en el primer hecho anteriormente. La dimensión de un espacio es simplemente el número mínimo de vectores linealmente independientes que se requieren para generar el espacio de$^\dagger$. Así que si $A$ es linealmente independiente grupo electrógeno $V$, lo hemos demostrado anteriormente que el $f(A)$ debe generar $f(V)$. Pero la necesidad de $f(A)$ es linealmente independiente? Si no: $\text{dim}(f(V)) < \text{dim}(V)$ ya que podemos llegar a un linealmente independientes, grupo electrógeno $f(V)$ mediante la eliminación de "superfluo" vectores de $f(A)$.

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$^\dagger$Dos linealmente independientes, grupos electrogenos para un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. Este es el teorema de la dimensión de espacios vectoriales.

Answer 2

Otra manera de responder a la segunda parte: usted puede tratar de probar el contrapositivo. Si $\{f(a_i)\}$ son independientes, entonces también lo son la $\{a_i\}$. Vamos

$$c^1 a_1 + \ldots+c^n a_n = 0$$

Si $f$ actúa en ambos lados,

$$f(c^1a_1+\ldots+c^na_n) = c^1f(a_1)+\ldots+c^nf(a_n)= f(0) = 0$$

Desde $\{f(a_i)\}$ son linealmente independientes, $c^i=0$ todos los $i$.

Tercera parte: Imaginemos a dos espacios vectoriales $V$ $W$ tal que $\dim(W) = m \geq n = \dim(V)$ y la construcción de una función lineal a la que se asigna la base de la $V$ a un conjunto de $n$ vectores linealmente independientes en $W$. También trate de probar que $\dim(f(V)) = \dim(V)$ en este caso.

Del mismo modo, usted puede repetir esto de una función lineal a la que se asigna la base de la $V$ a un conjunto de $k$ vectores linealmente independientes en $W$ donde $k<n$.

Answer 3

$3)$ es una consecuencia del Teorema del rango nulidad ... puesto que la fila es la dimensión de la imagen, y la nulidad es no negativa; y agregan hasta $\dim V$...