¿Interpretación geométrica de la antiderivada?

Question

¿Podría alguien darme una interpretación geométrica del teorema anterior?

Answer 1

Supongamos que $f:\>\Omega\to{\mathbb C}$ es una función analítica en algún dominio (conjunto abierto conectado) $\Omega\subset{\mathbb C}$ y que $z_0\in\Omega$ es un punto arbitrario en este dominio. Entonces hay un disco (quizás pequeño) $D(z_0)$ centrado en $z_0$ que está completamente contenida en $\Omega$ . Utilizando el desarrollo de Taylor de $f$ en $z_0$ o integrales de línea adecuadas junto con las ecuaciones CR, se puede demostrar que la restricción de $f$ a este disco tiene una primitiva, válido sólo en este disco . Esto significa que existe una función analítica $F_{[z_0]}:\>D(z_0)\to{\mathbb C}$ tal que $$f(z)={F_{[z_0]}}'(z)\qquad\forall z\in D(z_0)\ .$$ Tal primitivo local $F_{[z_0]}$ no está determinada de forma única. De hecho, se determina exactamente hasta una constante aditiva.

Supongamos que dicha construcción se ha realizado en todos los puntos $z_0\in\Omega$ .

El contenido geométrico del Teorema 18.3.3 anterior es la siguiente: Cuando el dominio $\Omega$ es simplemente conectado entonces se pueden ajustar las constantes de integración de todas estas primitivas locales de tal manera que una función definida globalmente $$F:\quad\Omega\to{\mathbb C}$$ surge, que es entonces una primitiva global de $f$ en $\Omega$ : $$f(z)=F'(z)\qquad \forall z\in\Omega\ .$$ Cuando $\Omega$ no está simplemente conectado, entonces no se puede garantizar esto para cada $f:\>\Omega\to{\mathbb C}$ . El ejemplo más destacado es $\Omega:={\mathbb C}\setminus\{0\}$ (el plano perforado) y $$f(z):={1\over z}\qquad(z\in\Omega)\ .$$ Aquí las funciones $$F_{[z_0]}(z):={\rm Log}{z\over z_0}$$ pueden servir como primitivos locales cerca de su $z_0$ pero es imposible para confeccionar una primitiva global de $f$ de estos.

Answer 2

Es muy difícil explicar la geometría sin tener imágenes a mano, pero lo intentaré. Trabajaré desde la perspectiva de los campos vectoriales ( $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ): concretamente, vamos a trabajar con el campo vectorial $\overline{f} = u-iv$ .

¡Espera, dices! ¿Por qué trabajar con el conjugado en lugar del original? $f=u+iv$ ? Vamos a ver que $f$ al ser analítico es equivalente al campo vectorial $\overline{f}$ con ciertas propiedades muy agradables. A saber, $\overline{f}$ no tiene rizos ni divergencias. Esto a su vez nos permitirá, en un dominio simplemente conectado, construir una "función potencial" $\Phi$ y una "función de flujo" $\Psi$ para $\overline{f}$ . Por último, cuando reunimos $\Phi + i\Psi$ resultará que tenemos una antiderivada de $f$ ¡!

Un poco de notación para empezar: Dado $z = a+bi$ y $w = c+di$ ( $a,b,c,d$ real), escriba $z \cdot w = ac+bd$ (el producto punto) y $z \times w = ad - bc$ (el "producto cruzado", o mejor dicho, la 3ª componente del producto cruzado de $(a,b,0)$ y $(c,d,0)$ ).

En primer lugar, examinamos el "rizo". Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, $$\nabla \times \overline{f} = - \partial_x v - \partial_y u = 0.$$ Así que $\overline{f}$ es un campo vectorial conservativo (irrotacional), lo que significa que tiene la propiedad de que el "trabajo" (integral de línea) de $\overline{f}$ a lo largo de cualquier curva cerrada $\Gamma$ es $0$ . (¡Necesitamos la conexión simple para llegar a esta conclusión!) Para decirlo de otra manera, el trabajo a lo largo de cualquier camino $\gamma$ de $a$ a $b$ depende sólo de los puntos finales $a$ y $b$ no el camino recorrido. Con un punto base fijo $z_0$ podemos definir una función potencial \begin {align} \Phi (Z) &= ( \text {Obra de } \overline {f} \text { a lo largo de cualquier camino desde }z_0 \text { a }Z) \\ &= \int_ {z_0}^Z \overline {f} \cdot dz = \int_ {z_0}^Z (u - iv) \cdot (dx + i\,dy) = \int_ {z_0}^Z u\, dx - v\, dy. \end {align} Obsérvese que el gradiente de $\Phi$ es $\overline{f}$ .

A continuación, examinamos la divergencia. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann de nuevo, $$\nabla \cdot \overline{f} = \partial_x u - \partial_y v = 0.$$ Volviendo a hacer uso de la conexión simple, $\overline{f}$ está siendo libre de divergencia, y por tanto tiene la propiedad de que el "flujo" de $\overline{f}$ a través de cualquier curva cerrada $\Gamma$ es $0$ . Al igual que el trabajo, el flujo a través de cualquier camino $\gamma$ de $a$ a $b$ depende sólo de los puntos finales $a$ y $b$ no el camino recorrido. Podemos entonces definir una "función de flujo" \begin {align} \Psi (Z) &= ( \text {Flujo de } \overline {f} \text { a través de cualquier camino desde }z_0 \text { a }Z) \\ &= \int_ {z_0}^Z \overline {f} \cdot (-i,dz) = \int_ {z_0}^Z (u - iv) \cdot (dy - i\,dx) = \int_ {z_0}^Z u\,dy + v\,dx. \end {align} (Nota menor: he hecho implícitamente una elección de orientación para el flujo.) Esto también es igual a $$\int_{z_0}^Z (i\overline{f}) \cdot dz;$$ en particular, el gradiente de $\Psi$ es $i\overline{f}$ .

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Ahora por fin llegamos a la geometría. Cuando hacemos un gráfico del campo vectorial $\overline{f}$ podemos dibujar una familia de equipotenciales : curvas de nivel de la función potencial $\Phi$ . También podemos dibujar una familia de agiliza : curvas de nivel de la función de flujo $\Psi$ .

Elige que los niveles sean los múltiplos de alguna constante muy pequeña $k > 0$ . Si trazas estos equipotenciales y líneas de corriente juntos en un diagrama, verás que los equipotenciales y las líneas de corriente

1. se cruzan en ángulo recto,

y aún más importante,

2. forman una cuadrícula de pequeños cuadrados (aproximados).

¿Por qué? Porque los gradientes $\nabla \Phi = \overline{f}$ y $\nabla \Psi = i\overline{f}$ son (1) perpendiculares y (2) tienen la misma magnitud.

Ahora defina $F = \Phi + i\Psi$ . Geométricamente, $F$ es el mapeo que envía los equipotenciales y las líneas de corriente del campo vectorial $\overline{f}$ a las líneas verticales y horizontales (respectivamente). Por supuesto, las líneas horizontales y verticales están todas igual de espaciadas (con espaciado $k$ ). Así que ellos también,

1. se cruzan en ángulo recto
2. forman una cuadrícula de pequeños cuadrados (reales).

La función $F$ mapea una cuadrícula de pequeños "cuadrados" a una cuadrícula de pequeños cuadrados. Eso significa que es analítico.

Busquemos su derivada. El gradiente de $\Phi$ en un punto $z$ es $\overline{f(z)}$ ; llamémosle a eso $Re^{-i\phi}$ . Recorriendo una distancia de $k/R$ en la dirección del gradiente $e^{-i\phi}$ (es decir, la dirección perpendicular a la equipotencial a través de $z$ ) aumenta el potencial de $\Phi(z)$ a $\Phi(z)+k$ . Por otro lado, la dirección de $\nabla\Phi$ es la dirección perpendicular a $\nabla\Psi$ . Así que viajando $(k/R)e^{-i\phi}$ no cambiará $\Psi$ - es en la dirección a lo largo de la línea de corriente a través de $z$ .

Juntando todo esto, cambiando $z$ por $(k/R)e^{-i\phi}$ causa $F$ para cambiar por $k$ . Recuerde, esto es en el límite como $k \to 0$ . Así que hemos determinado el valor de $F'(z)$ : la derivada de $F$ en $z$ es $Re^{i\phi}=f(z)$ . Por lo tanto, $F$ es efectivamente una antiderivada de $f$ .

Por último, relacionaremos $F$ a la fórmula a la que probablemente estés acostumbrado: \begin {align} \int_ {z_0}^z f(z) \N, dz &= \int_ {z_0}^z (u+iv)(dx+i\,dy) \\ &= \int_ {z_0}^z (u\,dx - v\,dy) + i(u\,dy + v\,dx) \\ &= \Phi (z) + i \Psi (z) \\ &= F(z). \end {align} Ahora ves la fórmula de aspecto inocente $F(z)=\int_{z_0}^z f(z)\,dz$ esconde una gran cantidad de contenido físico y geométrico. Todo tiene que ver con el campo vectorial $\overline{f}$ .

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Para una exposición menos condensada y más ilustrada (¡necesita ver las cifras! ¡necesita ver las cifras!), por favor, coja un ejemplar del libro de Needham Análisis visual de complejos . Esta entrada está en deuda con el libro, y se basa casi por completo en el capítulo "Campos vectoriales e integración compleja".