Desde el aeropuerto Charles de Trigg "Matemática Quickies: 270 Estimulante Problemas con Soluciones":
En qué sistema(s) de numeración es 11111 un cuadrado perfecto?
Yo he encontrado una base que funciona: 3. No estoy seguro si esta es la única solución o no. Hasta el momento, me han demostrado que para cualquier solución, la base no es uno menos que un primo.
Deje $S = \{ n^2 | n \in Z^+\}$ ser el conjunto de todos los positivos de los cuadrados perfectos.
Deje $y$ ser el número escrito como $11111$ en algunos de base, $x$.
Para la base 2, $y = \dfrac{2^5-1}{2-1} = 31 \notin S$
Para la base 3, $y = \dfrac{3^5-1}{3-1} = \dfrac{243-1}{2} = 11^2 \in S$
Supongamos una base de $x|x\ge2,x\in\mathbb{Z^+}$.
Escribir $$y=1+x+x^2+x^3+x^4=n^2 \tag{1}$$
Reorganizar (1) $$\begin{align} 1+x+x^3+x^4&=n^2-x^2\\ (1+x)(1+x^3)&=(n+x)(n-x)\\ (1+x)^2(1-x+x^2)&=(n+x)(n-x) \tag{2} \end{align}$$
Podemos mostrar a $(1+x)^2\nmid(n+x)\text{ and }(1+x)^2\nmid(n-x)$ como sigue:
$$\begin{align} (1+x)^2\mid(n+x) &\implies n+x \ge x^2+2x+1 \\ &\implies n-x \ge x^2+1 \\ &\implies (n+x)(n-x) \ge (x^2+2x+1)(x^2+1) \\ &\implies n^2 - x^2 \ge x^4+2x^3+2x^2+2x+1 \\ &\implies n^2 - x^2 > x^4+x^3+x^2+x+1 \end{align}$$ lo que contradice (2). Del mismo modo, $(1+x)^2\mid(n-x)$ contradice (2).
Por lo $\boxed{(1+x)^2\nmid(n+x)}$ $\boxed{(1+x)^2\nmid(n-x)}$
Supongamos entonces que $1+x$ divide tanto a a$n+x$$n-x$. Si es así:
$$(1+x)\mid 2x \implies x=1$$ que no está permitido.
Así que la suposición era falsa, y $\boxed{(1+x)\nmid(n+x)\text{ or }(1+x)\nmid(n-x)}$.
Por lo tanto, $\boxed{(x+1)\text{ is not prime}}$.
Ahora vamos a $p$ ser un primer factor de $1+x$. Entonces:
- $p\nmid x$
- $p\mid\big((x^2+x)-2(x+1)\big) \implies p\mid(x^2-x-2) \implies p=3 \lor p\nmid(x^2-x+1)$
Si $p\mid n+x$$p\mid n-x$, $p\mid2x \implies p=2\quad(\text{since }p\nmid x)$
Desde $(1+x)^2\mid\big((n+x)(n-x)\big)$, si cualquier prime $p_o>2$ divide $1+x$, ${p_o}^2$ divide cualquiera de las $n+x$ o $n-x$, e $p_o$ no divida a los otros.
