¿Van der Waerden sin dinámica topológica?

Question

La aplicación de dinámica topológica para demostrar Van der Waerden del teorema sobre la existencia de monocromática de una progresión aritmética se ha convertido en algo clásico ejemplo del poder de la dinámica topológica técnicas.

Sin embargo, desde el enunciado del teorema es puramente algebraico o el número teórico, me pregunto si hay una prueba sin el uso de la maquinaria de la dinámica y supongo que tal prueba puede dar una visión más clara sobre el asunto.

Gracias!

ps: ¿Cómo es que no hay una "dinámica topológica"de la etiqueta?

Answer 1

En el orden histórico, hay cuatro tipos de pruebas.

1. Clásica doble de inducción argumento (van der Waerden de la prueba y variantes). Puede ser presentado en finitary o "efectiva" de forma, pero conduce a la enorme límites que no son primitivas recursivas.

2. Ergodic teoría de la argumentación (Furstenburg y su escuela). Este enfoque no se producen de límites explícitos o, al desenrollarlo, da peor de los límites que el método clásico. Se generaliza más fácilmente y las primeras pruebas de algunos de los "densidad" reforzamientos de la vdW, en dimensiones superiores que se llevaron a cabo con ergodic theory.

3. Sela único argumento de inducción para la vdW y Hales-Jewett teoremas. Esto le dio a una cota superior que es una torre de funciones exponenciales. La altura de la torre es aproximadamente de la longitud de la progresión. Este gigantesco obligado es mucho menos de lo enorme que el clásico no primitiva recursiva de las pruebas. Se consideró un resultado espectacular, pero no sé si ya se ha adaptado para probar la densidad análogos.

4. Gowers' prueba que se desarrolló una analítica-algebraico-probabilístico contexto en el que comprender y generalizar los de van der Waerden, Hales-Jewett, Szemerédi y otros teoremas del mismo tipo. Este enfoque resulta afirmar exponencial límites como $2^{2^{cn^d}}$ para algunas constantes en función de la densidad (o el mismo con otro $2$ en la torre, pero la diferencia con el Sela límites es que la altura de la torre es independiente de la longitud de la progresión). Gowers también demuestra los límites inferiores de unbounded tipo de torre de algunas de las construcciones utilizadas en anteriores pruebas de la generalizada van der Waerden teoremas, pero la verdadera tasa de crecimiento de la vdW, los números no se conoce.