encontrar el límite con $ \cos $ función se producen $n$ veces

Question

Encontrando $ \displaystyle \lim_ {x \rightarrow 0} \frac {1- \cos (1- \cos (1- \cos (1- \cdots \cdots (1- \cos x))))}{x^{2^n}}$

donde el número de $ \cos $ es $n$ veces

cuando $x \rightarrow 0$ entonces $ \displaystyle 1- \cos x = 2 \sin ^2 \frac {x}{2} \rightarrow 2 \frac {x}{2} = x$

así que $1- \cos (1- \cos x) = 1- \cos x$

un poco de ayuda., gracias

Answer 1

Deje que $f^{n} $ denotan la composición de $f$ con sí mismo $n$ veces y dejar que $f^{0}(x)=x$ . Entonces el numerador de la expresión dada (cuyo límite debe ser evaluado) es igual a $f^{n} (x) $ donde $f(x) = 1- \cos x$ . Tenga en cuenta que como $x \to 0$ cada una de las funciones $f^{n} (x) \to 0$ y también observar que tenemos $$ \lim_ {x \to 0} \frac {1 - \cos x} {x^{2}}= \frac {1}{2}$$ Reemplazando a $x$ por $f^{n-1}(x)$ en la ecuación anterior obtenemos $$ \lim_ {x \to 0} \frac {f^{n} (x)} {(f^{n-1}(x))^{2}} = \frac {1} {2} $$ Ahora necesitamos reemplazar $n$ por $n-1$ en la ecuación anterior y al cuadrado y continuar así y multiplicar las ecuaciones resultantes para obtener $$ \lim_ {x \to 0} \frac {f^{n}(x)}{(f^{0}(x))^{2^{n}}}= \frac {1}{2} \cdot\frac {1}{2^{2}} \cdots\frac {1}{2^{2^{n-1}}}$$ y por lo tanto el límite deseado es $1/2^{1+2+2^{2}+ \cdots +2^{n-1}}$ o $1/2^{2^{n} - 1}$ .

Ver una similar responder a a una pregunta relacionada.

Answer 2

Toma el caso simple $$ \frac {1- \cos (1- \cos x)}{x^4}$$

$$= \frac {1- \cos (1- \cos x)}{(1- \cos x)^2} \left ( \frac {1- \cos x}{x^2} \right )^2$$ $$ \rightarrow \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{2} \right )^2$$

¿Puedes ver cómo hacer la inducción?

Así que tienes en general si $f(n)=1- \cos (1- \cos (1- \cos (1- \cdots \cdots (1- \cos x))))$

$$ \frac {f(n)}{x^{2^n}}= \frac {f(n)}{f(n-1)^2} \left ( \frac {f(n-1)}{x^{2^{n-1}}} \right )^2 \rightarrow \frac {1}{2}L_{n-1}^2$$

Y si escribimos $L_n= \left ( \frac {1}{2} \right )^{e_n}$

obtenemos la relación de recurrencia

$$e_n=2e_{n-1}+1$$ lo que significa $$e_n=2^n-1$$

Answer 3

$$ \lim_ {x \rightarrow 0} \frac {1- \cos x}{x^2}= \frac12 $$ así $1- \cos x \to\dfrac12x ^2$ con fundamento $$ \displaystyle \lim_ {x \rightarrow 0} \frac {1- \cos (1- \cos (1- \cos (1- \cdots \cdots (1- \cos x))))}{x^{2^n}}$$ $$= \displaystyle \lim_ {x \rightarrow 0} \frac {1- \cos (1- \cos (1- \cos (1- \cdots \cdots ( \dfrac12x ^2))))}{x^{2^n}}$$ $$= \displaystyle \lim_ {x \rightarrow 0} \frac {1- \cos (1- \cos (1- \cos (1- \cdots \cdots \dfrac12 ( \dfrac12x ^2)^2)))}{x^{2^n}}$$ $$= \displaystyle \lim_ {x \rightarrow 0} \frac { \left ( \dfrac12\right )^{2^n-1}x^{2^n}}{x^{2^n}}$$ $$= \left ( \dfrac12\right )^{2^n-1}$$