Identificar el ideal generado por el % de variedad $V(y^2-x^3)$

Question

Estoy teniendo problemas para mostrar el siguiente resultado:

Supongamos que $k$ es un infinito campo y considerar la variedad afín $V(y^2-x^3)$. Si $I(V)$ denota el ideal de todos los polinomios de fuga en $V$,$I(V) = (y^2-x^3)$.

La inclusión $(y^2-x^3) \leq I(V)$ es inmediata, y si $k$ fueron algebraicamente cerrado, por ejemplo, entonces la inversa de inclusión sería trivial por el Nullstellensatz. Pero desde $k$ es sólo supone ser infinito, esto no es bueno, y aquí es donde estoy atascado. Podría alguien ayudar?

Answer 1

Sugerencia: Si $(y^2 - x^3) \subsetneq I(V)$, entonces existe un elemento en $I(V)$ de la forma $f(x)y + g(x)$. Dado cualquier $a \in k$ el par $(a^2, a^3) \in V$, por lo que es una solución a $f(x)y + g(x)$. También se $(a^2, -a^3)$ es una solución para todos los $a \in k$. El uso de estos para mostrar primero que $f = 0$ porque tiene infinidad de raíces. A continuación, mostrar que $g = 0$.

Usted necesidad de asumir que la característica de $k$ no $2$ para este argumento para el trabajo. Cuando la característica de $k$ $2$ la afirmación no es verdadera. Por ejemplo, cuando se $k = \mathbb F_2$ tenemos $y + x \in I(V)$.

Answer 2

Estoy suponiendo $char(k) \neq 2.$ que $f(x,y) \in I(V),$ ver como un elemento en $k[x][y].$ verificar que hay $g(x,y),h(x),k(x)$ % s.t. $f(x,y)=(y^2-x^3)g(x,y)+yh(x)+k(x).$ahora parametrizar todos los puntos de $V$ $t,$ $t \mapsto (t^2,t^3)=(x,y).$ uso la Asunción en $k$ ser infinito para demostrar que $yh(x)+k(x) \equiv 0.$