Integración del volumen de una esfera con un cilindro "perforado" en ella

Question

Desgraciadamente, estoy atascado de nuevo en otro problema de integración.

Famosas últimas palabras, esto debería ser sencillo.

$$ \text{A cylindrical drill with radius 5 is used to bore a hole through}\\\text{the center of a sphere of radius 7. Find the volume of the ring shaped solid that remains.} $$

Así que podemos configurar nuestro problema definiendo primero nuestro cambio en $\theta$ como la primera región, porque podemos hacer una simple multiplicación para rellenar simétricamente el resto de la esfera. Sólo tenemos que calcular el cambio en $r$ dentro de eso.

$$ \begin{align} &=8 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{5}^{7} r\:dr\:d\theta\\ &=\frac{8}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}49-25\:d\theta\\ &=24 \times \frac{8}{2} \times \frac{\pi}{4}\\ &=24\pi \end{align} $$

Edición: He intentado volver a evaluar mi proceso, pero el problema seguía sin ser correcto.

Intenté establecer mi integrando a la longitud de arco de la esfera - la longitud de arco del cilindro, pero el integrando $\frac{r^3}{2}-5r$ no era el integrando correcto.

Answer 1

Por qué no utilizar geometría simple, En general

El volumen de la esfera, que tiene un radio $R$ minuciosamente perforado a lo largo de su diámetro por un cilindro de radio $r$ es $$=\text{(volume of the original sphere)}-\text{(volume of of cylindrical hole with ends as spherical caps)}$$ $$V_{\text{drilled sphere}}=\frac{4\pi}{3}R^3-\frac{4\pi}{3}(R^3-(R^2-r^2)^{3/2})$$ $$\bbox[4pt, border:1px solid blue;]{\color{blue}{V_{\text{drilled sphere}}=\frac{4\pi}{3}(R^2-r^2)^{3/2}}} $$ donde $\color{red}{0\leq r<R}$ .

Ahora, sustituyendo los valores dados, radio de la esfera, $R=7$ y el radio de la broca cilíndrica $r=5$ obtenemos el volumen del sólido en forma de anillo (es decir, la esfera perforada) $$V_{\text{drilled sphere}}=\frac{4\pi}{3}(7^2-5^2)^{3/2}$$ $$=\frac{4\pi}{3}(24)^{3/2}$$ $$=\frac{4\pi}{3}(8)(6)^{3/2}$$ $$=\color{blue}{\frac{32\pi 6^{3/2}}{3}\approx 492.4991348\ldots \text{ cubic units}}$$

Answer 2

Esta es la problema del servilletero .

Esta ilustración insinúa utilizar el principio de Cavalieri en él.

Esta sección da una solución completa.

Answer 3

La integral que has configurado te está dando la zona de 1/8 de un anillo con radio interior $5$ y radio exterior $7$ no el volumen de un sólido.

Intentemos hallar el volumen del agujero cilíndrico y el volumen de la esfera por separado y luego restémoslos.

Para el agujero, limitémonos al primer octante (como ha hecho usted).

Podemos orientar el sólido de forma que el eje del cilindro sea el $z$ -y entonces, utilizando coordenadas cilíndricas, podemos encontrar los límites de integración:

• $z$ va desde el $xy$ -a la mitad superior de la esfera, por lo que sus límites son $0$ y $\sqrt{49-(x^2+y^2)}=\sqrt{49-r^2}$
• $r$ va de $0$ a $5$
• $\theta$ va de $0$ a $\frac \pi 2$ .

Así, el volumen de $1/8$ del agujero viene dado por \begin{align}\int_0^{\pi/2}\int_0^5 \int_0^{\sqrt{49-r^2}}r\,dz\,dr\,d\theta&=\int_0^{\pi/2}\int_0^5 r\sqrt{49-r^2} \, dr \, d\theta \\ &=\int_0^{\pi/2} \frac{-1}{3}(49-r^2)^{3/2} \bigg|^5_0 \,d\theta \\ &=\int_0^{\pi/2} \frac{-1}{3}(24^{3/2}-343) \, d\theta \\ &=\frac{\pi}{6}(343-24^{3/2}) \end{align}

Y restando (8 veces) esto del volumen de la esfera ( $\frac{343\pi}{3}$ por geometría) debería darte el volumen de tu sólido.