$f(x)$ es positivo, continuo, monótono e integrable en (0,1). ¿Es$\lim_{x \rightarrow 0} xf(x) = 0$?

Question

Tengo problemas con esta pregunta de una prueba de ejemplo.

Tenemos una función positiva$f(x)$ que es monótona, continua e integrable en$(0,1]$. Es $\lim_{x \rightarrow 0} xf(x) = 0$?

Progreso

El único caso problemático parece ser cuando$f(x)$ es ilimitado y monótona disminuye. Para ese caso, descubrí que$xf(x)=\int_{0}^{x} f(x)dt$ y que$0\leq xf(x)\leq \int_{0}^{x} f(t)dt$. Desde aquí no estoy seguro de cómo continuar.

¡Gracias!

Answer 1

Si$f$ aumenta, entonces$\lim_{x \to 0^+} f(x) = C < +\infty$ existe, por lo que el resultado es trivial.

Si$f$ está disminuyendo,$c < x$ implica$f(c) \ge f(x)$. Ahora, por el teorema de valor medio para integrales, para cada$0 < x < 1$, existe$0 < c(x) < x$ tal que $$ \ int_0 ^ xf (t) \, dt = f (c (x)) x. $$ Esto da $$ 0 \ le xf (x) \ le xf (c (x)) = \ int_0 ^ xf (t) \, dt \ a 0. $$

Espero que ayude,

Answer 2

Si hay un $\beta > 0$ y $L>0$ que $xf(x) \ge L$ $(0,\beta)$, entonces el $f(x) \ge L/x$ $(0,\beta)$ y por lo tanto $$ \int0^\beta f (x) dx $$ no existe. De lo contrario cada $L$ allí es un % decreciente de secuencia ${u{L,n}} \to 0$tal que $u{L,n}f(u{L,n})

Ahora que $L\to 0$. Sigue que $xf(x) \to 0$.

Answer 3

Sólo un comentario más largo - te voy a mostrar que las integrales impropias son continuas.

Inadecuado integral en $(0,1]$ es el límite de regular las integrales en $[\delta,1]$. Si el límite de $L$ existe, entonces para $\delta < \delta_0$ esta integral es $\varepsilon$-cerca de L. a partir De la desigualdad de triángulo sabemos, que las dos integrales en $[\delta,1]$ $[\delta',1]$ $2\varepsilon$- cerca (tenga en cuenta que $\delta,\delta'$ también podría ser cero aquí, a continuación, llegamos justo a $\varepsilon$). Esto significa que cuando integramos en un intervalo incluido en $[0,\delta_0]$, entonces el resultado es menor que $2\varepsilon$. Por otra parte en $[\delta_0,1]$ la función está limitada por algunos $M$ (a partir de su integrabilidad). Así que, si tomamos un intervalo de $[a,b]$ más corto de $\min(\delta_0,\varepsilon/M)$, entonces (por la desigualdad del triángulo) la integral es menor que $2\varepsilon + \varepsilon=3\varepsilon$, lo que muestra la continuidad de una integral impropia.

Answer 4

Como señaló$0\leq x f(x) \leq \int_{0}^{x} f(t)\, dt$. Pero$F(x):= \int_{0}^{x}f(t)\, dt$ es continuo, por lo que$\lim_{x\to 0} F(x) = F(0) = 0$, y el resultado se sigue del teorema de compresión.

Answer 5

Si$f$ no se puede integrar correctamente sobre$[0,1]$, entonces$\lim\limits_{a\rightarrow0^+}\int_a^1 f(x)\,dx=L$ para un número finito$L$.

Tenga en cuenta que para cualquier$b$ en$(0,1)$: $$ \ eqalign {L = \ int_0 ^ 1f (x) \, dx = \ int_0 ^ bf (x) \, dx + \ int_b ^ 1f ( x) \, dx \ cr} $$ Ahora, dejando que$b\rightarrow0^+$ converja a$ \int_b^1f(x)\,dx$, lo que implica que $$ \ lim_ {b \ rightarrow0 ^ +} \ int_0 ^ bf (x) \, dx = 0. $$