Norma de la lineal funcional

Question

Me podrían ayudar por favor con la siguiente pregunta? Existe un funcional lineal $A : C_{[0;1]} \rightarrow \mathbb{R}$, de tal manera que $$ Ax=\int_{a}^{b}x(t)\varphi(t)dt $$ donde $\varphi$ es un fijo función, $\varphi \in C_{[0;1]}$. La tarea es demostrar que $ \left \| A \right \| = \int_{a}^{b}\left | \varphi (t) \right |dt $.

La norma en $C_{[0;1]}$ $||x||=\max_{a \leq t \leq b} |x(t)|$

Primero de todo, nos muestran que la unctional son los siguientes: $\forall x \in C_{[a;b]} ~~~ | Ax | = |\int_{a}^{b}x(t)\varphi(t)dt| \leq \int_{a}^{b} | x(t)| \cdot |\varphi(t)|dt \leq \int_{a}^{b} \max_{a \leq t \leq b} |x(t)| \cdot |\varphi(t)|dt = ||x||\cdot \int_{a}^{b}\left | \varphi (t) \right |dt $

Ahora tengo que probar el inverso de la desigualdad o de encontrar la secuencia de funciones continuas con la función de límite de $x_0$ satisfacción $A(x_0)=\int_{a}^{b}\left | \varphi (t) \right |dt~~$?

O, tal vez, hay alguna otra manera? Cómo puedo probar que $~~\int_{a}^{b}\left | \varphi (t) \right |dt ~~$ es realmente una norma?

Gracias de antemano.

Answer 1

Por lo que he probado que $\|A\|\leq \|\phi\|_1=\int_a^b|\phi(t)|dt$.

Para obtener la inversa de la desigualdad, usted tiene la idea correcta. Usted puede construir una secuencia de funciones continuas que se aproxima el signo de la función de $\phi$. Nota el límite no será continua tan pronto como $\phi$ no tiene signo constante. Aquí es una manera de hacer eso.

Supongo que desde ahora en que $\phi\neq 0$, es decir,$\|\phi\|_\infty>0$, de lo contrario, todo es trivial. Ahora establecer $$ x_n(t):=\frac{\phi(t)}{|\phi(t)|+\frac{1}{n}}. $$ Esto es claramente continua y, desde $y\longmapsto y/(y+1/n)$ es el aumento de $y\geq 0$, tenemos $$ \|x_n\|_\infty=\frac{\|\phi\|_\infty}{\|\phi\|_\infty+\frac{1}{n}}\longrightarrow 1. $$ Por otro lado, obtenemos $$ Ax_n=\int_a^b\frac{\phi(t)^2}{|\phi(t)|+\frac{1}{n}}dt\longrightarrow \int_a^b|\phi(t)|dt $$ desde $$ \left|Ax_n-\int_a^b|\phi(t)|dt\right|=\left|\int_a^b \frac{-\phi(t)}{n|\phi(t)|+1}dt\right|\leq \int_a^b \frac{|\phi(t)|}{n|\phi(t)|+1}dt\leq \frac{b}{n}. $$ Por lo tanto $$ \|\|\Geq \frac{Ax_n}{\|x_n\|_\infty}\longrightarrow \int_a^b|\phi(t)|dt. $$ Esto demuestra la inversa de la desigualdad. Por lo tanto $\|A\|= \|\phi\|_1=\int_a^b|\phi(t)|dt$.