Solución de $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{xy(x^2 \sin y^2+1)}$

Question

Encontrar la solución de la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{xy(x^2 \sin (y^2)+1)}$$

¿Podría alguien sugerencia me algo para superar este problema?

Answer 1

Como @Nicholas Stull sugerido, que $u=y^2$ $$\frac{du}{dx}=\frac2{x\left(x^2\sin(y^2)+1\right)}$ $ luego reorganizar a ecuación diferencial de $$\frac{dx}{du}-\frac12x=\frac12x^3\sin u$ $ de Bernoulli que podemos sustituir $x=v^n$, y si $n-1=3n$, la dependencia de la variable dependiente en el lado derecho se desvanecerá. $n=-\frac12$, #% Y $x=v^{-\frac12}$ $$\frac{dv}{du}+v=-\sin u$$ esto es una primera orden ecuación diferencial linear con integración factor $$\mu=e^{\int1du}=e^u$ $ % que $$\frac d{du}\left(e^uv\right)=e^u\frac{dv}{du}+e^uv=-e^u\sin u$$ entonces $$e^uv=-\frac{(e^u\sin u-e^u\cos u)}2+C$ $ $$v=-\frac12\sin u+\frac12\cos u+Ce^{-u}$ $ $x$ y $y$, %#% $ #% que concuerda muy bien con el Wolfram | Solución de alfa.

Answer 2

Se trata de una ecuación diferencial exacta. Se puede resolver utilizando el método descrito en la página de la Wiki. Tenga en cuenta que la solución obtenga será implícita, es decir, de la forma $F(x,y) = c$. En este caso particular, no es posible escribir esto en el % de forma $y = f(x)$. Sin embargo, puede escribir $x$ $y$.