Propiedades del producto tensorial de módulos

Question

Dejemos que $M'$ sea un submódulo de $\mathbb{Z}$ -Módulo $M$ y que $i:M'\rightarrow M$ sea un monomorfismo natural.

¿Cómo demostrar el siguiente teorema? :

$i\otimes 1_N:M'\otimes_{\mathbb{Z}} N \rightarrow M\otimes_{\mathbb{Z}} N$ es un monomorfismo para todo $\mathbb{Z}$ -módulos $N$ si para todo $q\in \mathbb{Z}$ tenemos $M'\cap qM=qM'$ .

Si $N$ está generada finitamente, entonces podemos utilizar el hecho de que $N$ es suma directa de módulos cíclicos y entonces sabemos que $\ker\left(M'\otimes \left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\right)\rightarrow M\otimes \left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\right)\right)\cong \left(M'\cap qM\right)/qM'$ Así que en este caso la prueba es fácil. ¿Cómo hacerlo en el caso general? ¿Sigue siendo cierto?

Answer 1

Sigue siendo cierto porque:

1. Cualquier $A$ -es el límite directo de sus submódulos generados finitamente (para cualquier anillo $A$ ).
2. Los productos tensoriales conmutan con límites directos.
3. El límite directo es un functor exacto.

Por cierto, un submódulo de un $A$ -con esta propiedad (el morfismo $M'\hookrightarrow M$ es universalmente exacta) se llama puro submódulo de $M$ y se dice que el morfismo es puro .

Ejemplos estándar de submódulos puros:

• Un sumando directo es un submódulo puro
• Si $M/M'$ es plana, $M'$ es un submódulo puro de $M$ .