¿Integración de dirac, por qué este es el resultado?

Question

No entiendo por qué este ejemplo:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \left(\ \delta(x)+ \frac{\delta(x-1)}{2} + \frac{\delta(x+1)}{2}\right)\ e^{-x} \ dx $$

Da la siguiente salida:

$$ 1 \ + \ \frac{e^{-x}}{2} \ + \frac{e^{x}}{2} $$

Gracias por sus respuestas

Answer 1

Como otros en los comentarios, esta respuesta no es correcta porque esperamos que un número real como la evaluación de la integral definida, no una función. La clave está en aplicar la propiedad de la función delta "tamizar": $$ \int_{-\infty}^\infty\mathrm dx\, f(x)\delta(x-a) = f (a). $$

Así que, rompiendo la integral con la linealidad,\begin{align} \int{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\,\Big[\delta(x)+ \frac{\delta(x-1)}{2} + \frac{\delta(x+1)}{2}\Big] e^{-x} \ =\int{-\infty}^{\infty} \mathrm dx\,\delta(x)e^{-x}+ \int{-\infty}^\infty\mathrm dx\,\frac{\delta(x-1)}{2}e^{-x} + \int{-\infty}^\infty\mathrm dx\,\frac{\delta(x+1)}{2}e^{-x}\,, \end{align} y aplicando la propiedad de tamizar nos da la respuesta que otros han mencionado.