Si una moneda sale cara, se lanza exactamente dos veces más. Encuentra$f_Z$ donde$Z$ es el número de cabezas menos el número de colas.

Question

Hay tres preguntas para este problema.

Por favor me ayudan a explicar la respuesta para el número 3.

1. Encontrar $f_X$ donde $X$ es el número total de cabezas.
   Sí tengo esto. Ans: \begin{align}f_X (0)&=P(X =0)=P(T)=\frac12\\ f_X(1)&=P(X =1)=P(HTT)=\frac18 \\f_X (2)&=P(X =2)=P(HHT)+P(HTH)=\frac14\\ f_X (3)&=P(X=3)=P(HHH)=1/8\end{align}

2. Encontrar $f_Y$ donde $Y$ es el número total de colas.
   Sí tengo esto. Ans: \begin{align}f_Y (0)&=P(Y =0)=P(HHH)=\frac18\\ f_Y (1)&=P(Y =1)=P(T)+P(HHT)+P(HTH)=\frac68=\frac34 \\ f_Y (2)&=P(Y =2)=P(HTT)=\frac18 \end{align}

3. Encontrar $f_Z$ donde $Z$ es el número de cabezas menos el número de colas.
   Tengo la respuesta para esto, pero no totalmente a conseguir. Podría alguien por favor me ayude a explicar. Gracias. Ans: \begin{align}f_Z(−1)&=P(Z =−1)=P(T)+P(HTT)=\frac58\\ f_Z(1)&=P(Z =1)=P(HHT)+P(HTH)=\frac28=\frac14\\ f_Z(3)&=P(Z =3)=P(HHH)=\frac18\end{align}

Answer 1

El espacio muestral $Ω$ o en otras palabras el conjunto de los posibles resultados de este experimento es $$Ω=\{T, HTT, HTH, HHT, HHH\}$$ y las probabilidades de estos sucesos elementales son

1. $P(T)=\dfrac12$
2. $P(HTT)=P(HTH)=P(HHT)=P(HHH)=\dfrac{\frac12}{4}=\dfrac18$

que por supuesto se resumen a $1$ como se debe. En cuanto a la pregunta 3, en particular: La variable aleatoria $Z$ toma siguientes valores de $Z\in\{-1,1,3\}$. Tomar cada escuela primaria evento por separado:

1. Si $T$ se produce, a continuación, $Z=$Cabezas$-$Colas$=0-1=-1$.
2. Si $HTT$ se produce, a continuación, $Z=$Cabezas$-$Colas$=1-2=-1$.
3. Si $HTH$ se produce, a continuación, $Z=$Cabezas$-$Colas$=2-1=1$.
4. Si $HHT$ se produce, a continuación, $Z=$Cabezas$-$Colas$=2-1=1$.
5. Si $HHH$ se produce, a continuación, $Z=$Cabezas$-$Colas$=3-0=0$.

Por eso, $P(Z=-1)=P(T)+P(HTT)=\frac12+\frac18=\frac58$ como usted lo tiene. Y el resto de manera similar.

Answer 2

Hice un dibujo.

Recal, que el proceso termina si tenemos una cola en el primer intento, o le voltear dos veces si queremos obtener una cabeza.

Observe que los únicos valores posibles de $Z$$\{-1, 1, 3\}$.

Por lo que podemos calcular estas siguiendo las ramas; \begin{align*} P(Z = 1) &=P(HHT\cup HTH) \\ &= P(HHT)+P(HTH) \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ &= \frac 18+\frac 18= \frac{1}{4} \end{align*} donde la segunda igualdad es cierto, ya que los eventos son disjuntos.

Del mismo modo, $$P(Z = -1) = P(T)+P(HTT) = \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{5}{8}$$ y $$P(Z = 3) = P(HHH) = \left(\frac12\right)^3 = \frac{1}{8}.$$

Answer 3

Ya ha calculado que los posibles resultados son$T$ (con probabilidad$\frac12$), y$HTT,HTH,HHT$, y$HHH$, cada uno con probabilidad$\frac18$. ¿Qué resultados te dan qué valores de$Z$? Aquí hay una tabla:

$$ \begin{array}{c|c} \text{Outcome(s)}&Z&\text{Probability}&\text{Total prob.}\\ \hline T&0-1=-1&\frac12&\frac12+\frac18=\\ HTT&1-2=-1&\frac18&\color{red}{\frac58}\\ \hline HTH&2-1=1&\frac18&\frac18+\frac18=\\ HHT&2-1=1&\frac18&\color{red}{\frac14}\\ \hline HHH&3-0=3&\frac18&\color{red}{\frac18} \end {array} $$

Las dos primeras filas muestran los resultados que dan como resultado$Z=-1$; su probabilidad total si$\frac12+\frac18=\frac58$. El resto del cálculo es similar.