Caracterización del subgrupo conmutador

Question

En un artículo de Wikipedia sobre el Subgrupo Conmutador, se indica lo siguiente:

"El subgrupo conmutador también se puede definir como el conjunto de elementos $g$ del grupo que tienen una expresión como un producto $g = g_1 g_2 \cdots g_k$ que se puede reorganizar para dar la identidad."

Me preguntaba si había una referencia para esto (que contenga una prueba) o si alguien podría proporcionar una prueba, ya que pensé que era una propiedad interesante.

Pasé un tiempo buscando y no encontré nada. La única parte de la prueba que pude hacer por mí mismo fue el hecho trivial de que cada elemento del subgrupo conmutador tiene esta propiedad, pero puede haber otros elementos que también tengan esta propiedad.

Answer 1

Sea $G$ tu grupo. Cualquier producto $g_1\ldots g_n$ que pueda ser reorganizado para dar $1$ debe mapear a $1$ bajo cualquier homomorfismo de $G$ a un grupo abeliano. Si $[G, G]$ es el subgrupo conmutador, la proyección $p : G \to G/[G, G]$ es un homomorfismo de $G$ a un grupo abeliano y $\ker(p) = [G, G]$.