Contraejemplo para "si $\int_E f < \infty$, entonces el $\lim_{n \to \infty} \int_A f_n = \int_A f$

Question

Parte un) de la pregunta es la siguiente: «Supongamos que $E \subset \mathbb{R}^d$ es un conjunto medible y que $f, f_n$ son funciones medibles en $E$ satisfacción $fn \to f$ a. e. en $E$. Supongamos que $\lim{n \to \infty} \int_E f_n = \int_E f$. Demostrar eso si $\int_E f

Probado eso, pero para la parte b) la pregunta quiere encontrar un contraejemplo si $\int_E f = \infty$. No tengo idea cómo sería tal función. ¿Alguien tiene un buen contraejemplo?

Answer 1

Bueno, aquí es un ejemplo de simple contador. Tomemos $E = [0,2]$.

En el intervalo $[0,1)$, definir %#% $ #%
$$fn (x)= n\chi{[0,\frac{1}{n}]}(x)\quad \text{ and }\quad f \equiv 0.$ pointwise a.e. y este es el ejemplo clásico para la desigualdad terminante lema $f_n \rightarrow f$ $ de Fatou

Y ahora en el intervalo $$1 = \lim_n \int_0^1 f_n > \int_0^1 f = 0$ $[1,2]$ y $f_n$ que algunos locos función $ f $ tal que $g$.

Juntos, tenemos a.e. pointwise de $\int_1^2 g = \infty$ y $f_n \rightarrow f$. Sin embargo tomar el conjunto de medible $\int_0^2 f = \int_1^2 g = \infty$ obtenemos %#% $ #%