¿Cuáles son las facetas del Politopo de Birkhoff cuando $n=2$ ?

Question

He leído en varias fuentes que el número de facetas del politopo de Birkhoff $\mathcal{B}(n)$ es $n^2$ .

¿Se supone que esto se mantiene cuando $n=2$ ? Desde $\mathcal{B}(2)$ tiene dimensión $1$ las facetas serían las dos $0$ -que son las dos matrices de permutación siguientes: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \text{ and } \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$$ Sin embargo, la pretensión es que haya $2^2 = 4$ facetas. Ninguna de mis fuentes ha dado ninguna restricción sobre $n$ . ¿Qué me falta?

Answer 1

No, no se aplica a $n=2$ sus fuentes (como éste ) aparentemente no trató este caso especial.

En general $n^2$ Las facetas corresponden a las restricciones de no negatividad para la $n^2$ entradas de la matriz. Pero para $n=2$ El $4$ Las restricciones de no negatividad forman dos pares de restricciones idénticas si las restringe al espacio definido por las restricciones de suma de filas y columnas: Las restricciones de suma de filas y columnas abarcan un $3$ -y así dejar sólo un espacio $1$ -de matrices doblemente estocásticas de la forma

$$ \pmatrix{x&1-x\\1-x&x}\;, $$

en el que las restricciones de no negatividad son idénticas en la diagonal y fuera de la diagonal.

Así que tienes razón; sólo hay dos facetas en este caso, definidas por $x=0$ y $x=1$ que corresponde a las dos matrices que has dado.