¿Hay una manera más simple de determinar m, n, p, de tal manera que lo siguiente se aplica a todos los reales?

Question

Me da la siguiente ecuación y se me pide que encuentre $m$, $n$ y $p$, por lo que la ecuación tiene para todos los reales:

$$ \sin^4x + \cos^4x + m(\sin^6x + \cos^6x) + n(\sin^8x + \cos^8x) + p(\sin^{10}x + \cos^{10}x) = 1, \space \forall x \in \mathbb R $$

He logrado resolver, por adelantado, el cálculo de la energía de reducción de fórmulas y, a continuación, aplicar a la ecuación:

$$ \sin^4x + \cos^4x = 1 - \frac12\sin^2{2x} \\ \sin^6x + \cos^6x = 1 - \frac34\sin^2{2x} \\ \sin^8x + \cos^8x = 1 - \sin^2{2x} + \frac18\sin^4{2x} \\ \sin^{10}x + \cos^{10}x = 1 - \frac54\sin^2{2x} + \frac5{16}\sin^4{2x} $$

Como resultado, me las arreglé para simplificar a la siguiente, que es sólo en términos de potencias de $\sin{2x}$:

$$ \left( 1+m+n+p \right) - \left( \frac12 + \frac{3m}4 + n + \frac{5p}4 \right) \sin^2{2x} + \left( \frac{n}8 + \frac{5p}{16} \right) \sin^4{2x} = 1, \space \forall x \in \mathbb R $$

Entonces llego a la conclusión de que la única manera posible de que esto puede ser verdad si: $1+m+n+p=1$, $ \frac12 + \frac{3m}4 + n + \frac{5p}4 = 0 $ y $ \frac{n}8 + \frac{5p}{16} = 0 $.

Al resolver el siguiente sistema de ecuaciones llego a las soluciones $m=6$, $n=-10$, $p=4$.

$$ \left\{ \begin{aligned} 1 + m + n + p = 1 \\ \frac12 + \frac{3m}4 + n + \frac{5p}4 = 0 \\ \frac{n}8 + \frac{5p}{16} = 0 \end{aligned} \right. $$

Mi pregunta es si mi razonamiento es correcto y si existe alguna manera más sencilla de resolver el problema.

Answer 1

Considere el polinomio $$P(t):=-1+t^2+(1-t)^2+mt^3+m(1-t)^3+nt^4+n(1-t)^4+pt^5+p(1-t)^5\,.$$ Si $t=\sin^2(x)$ es una raíz para cada $x\in\mathbb{R}$, $P\equiv 0$ de forma idéntica. En particular, $$0=[t^4]\,P(t)=2n+5p\,,$$ $$0=[t^2]\,P(t)=2+3m+6n+10p\,,$$ y $$0=[t^0]\,P(t)=P(0)=m+n+p\,,$$ donde $[t^k]\,P(t)$ denota el coeficiente del término $t^k$ $P(t)$ por cada $k=0,1,2,\ldots$. (Aquí, los coeficientes se encuentran a través del Teorema del Binomio.) De ello se deduce inmediatamente que $m=6$, $n=-10$, y $p=4$.

Todavía tenemos que demostrar que $P\equiv 0$ es de hecho el caso. En primer lugar, $\deg(P)\le4$ puede ser visto fácilmente. Por lo tanto, tenemos que comprobar que $[t]\,P(t)=0$$[t^3]\,P(t)=0$, pero $$[t]\,P(t)=-2-3m-4n-5p=-\big([t^2]\,P(t)\big)+\big([t^4]\,P(t)\big)=0$$ y $$[t^3]\,P(t)=-4n-10p=-2\,\big([t^4]\,P(t)\big)=0\,.$$ Por lo tanto, $P$ es de hecho el cero del polinomio.

Answer 2

Su razonamiento es correcto. Usted puede ahorrar un poco de algebraa por medio de la formulación de la siguiente manera. Definir $\, f(t) := t^2 + m t^3 + n t^4 + p t^5. \,$ queremos que la ecuación $\, f(t) + f(1-t) - 1 = 0\,$ ser cierto para todos los $\, t = \sin^2(x). \,$ Si se expande el lado izquierdo, es un cuarto degreee polinomio en $\,t.\,$ Todos sus coeficientes debe ser cero. Esto le da cinco ecuaciones lineales en las cuatro incógnitas y la solución es que como lo encontró. La ventaja de este enfoque es que se evita la necesidad de expresar $\, \sin^{2n}(x) + \cos^{2n}(x) \,$ " en términos de potencias de $\, \sin(2x). \,$ Todo lo que se necesita es conocer la identidad de $\, \sin^2 x + \cos^2 x = 1. $