Productos infinitos de categorías

Question

$\newcommand{Un}{\mathcal{A}} \newcommand{B}{\mathcal{B}} \newcommand{C}{\mathcal{C}} \newcommand{T}{\mathsf{T}}$

El producto de dos categorías $\A$ $\B$ es la categoría de $\A \times\B$ con los objetos de pares $(A,B)$, habiendo $A \in \A$$B \in \B$, y morfismos igualmente definidos por pares de la adecuada morfismos. Esta definición simplemente extiende a $n$-arry productos.

Parece también que no es una simple extensión de una familia de categorías $\C_i$ indexados por el conjunto de $I$. Categoría $ \prod_{i \in I}\C $ debe tener dependend funciones de $X : I \to \C_i, X : i \mapsto X_i$ como objetos con evidente morfismos. Lo que me preocupa aquí es la consistencia de ciertos $\infty$-variable conexiones de Galois.

Por ejemplo, para cada espacio topológico es posible $X$ para definir la pequeña orden categoría $\T X$ con abrir conjuntos como objetos y morfismos correspondiente a la relación de $(\subseteq)$. Evidentemente, si utilizamos la definición de los productos de las categorías para el conjunto infinito $I$, y el producto de la topología definida por la propiedad natural para el producto de espacios topológicos, entonces:

$$ \prod_{i \in I} \T X_i \not\subseteq \T\prod_{i \in I} X_i $$

en general, como la topología en $\prod_{i \in I} X_i$ será generada por los productos de abrir conjuntos de $\prod_{i\in I}U_i$ con sólo un número limitado de $U_i \neq X_i$. Esto es malo ya que los resultados en la topología y de la teoría de la medida que implican infinito productos no se traducen bien a la categoría de idioma.

Para superar este problema, propongo la definición de producto especial de categorías, $\prod^\wedge_{i \in I} \C_i$ con que dependen de las funciones que el anterior para los objetos, pero sólo con número finito de valores de no ser terminal, o doblemente $\prod^\vee_{i \in I} \C_i$ con sólo número finito de valores de no ser inicial. Probablemente, este tipo de productos se definen sólo para las categorías con estos objetos universales. Finito de productos será el equivalente a los productos normales. Además, cualquier motphisms serán definidas por un número finito de flechas de categorías originales.

En mi ejemplo, $$ {\prod_{i \in I}}^\wedge \T X_i \subseteq \T \prod_{i \in I} X_i, $$

y, de hecho, $\prod_{i \in I}^\wedge \T X_i$ es la base para la topología de $\prod_{i \in I} X_i$.

Probablemente definiciones de este tipo de productos sólo puede tener sentido en el más estricto orden de teoría de incluso entramado de la teoría. Yo haven"t visto nada como esto definido antes.

Son productos no estándar de categorías como estas en algún lugar (No necesariamente tienen que ser exactamente como estos)? Puede proporcionar una referencia si que es un caso?

Gracias por leer esta pregunta larga.

Answer 1

A mí me parece que su construcción debe ser algo similar (es decir, equivalente, si no isomorfo a la siguiente).

Deje $(\mathbf C_i)_{i \in I}$ ser una familia de categorías con un terminal de objeto. A continuación, tenemos una natural diagrama de $D$ parametrizadas por el posetetal categoría de subconjuntos finitos de $I$, este diagrama asociados

• para cada subconjunto finito $J \subseteq I$ la categoría de $\prod_{i \in J}\mathbf C_i$

• para cada uno de inclusión $J_1 \subseteq J_2$ natural incrustación $\prod_{i \in J_1} \mathbf C_i \to \prod_{i \in J_2} \mathbf C_i$.

El colimit de este diagrama debe proporciona su producto especial.

Tenga en cuenta que este es básicamente el directo de la suma de la construcción de anillos y módulos (a través de un anillo fijo), en el último caso de esta construcción es también el subproducto, y debe especializarse en el caso de $\mathbf {Lex}$ a la subproducto descrito por ne-.

Espero que esto ayude.

Answer 2

No sé de referencia, pero su construcción parece llegado la hora de pensar en infinito co-productos en la categoría de $\mathrm{Lex}$ con

• Objetos: pequeño categorías con límites finitos,

• Morfismos: functors que preservar límites finitos.

(Por Gabriel-Ulmer la dualidad, también habría llegado hasta la hora de pensar en infinito productos en la categoría de local finitely presentable categorías; usted podría ser capaz de encontrar referencias a lo largo de estas líneas).

Me dicen que si $(\mathcal{C}_i)_{i\in I}$ es una colección de objetos en $\mathrm{Lex}$, entonces su categórica subproducto $\coprod_{i\in I}^{\mathrm{Lex}} \mathcal{C}_i$ es exactamente el pleno de la subcategoría $\prod_{i\in I}^{\wedge}\mathcal{C}_i$ de la categoría de producto que consiste en aquellos secuencia $(c_i)_{i\in I}$ donde $c_i$ es la terminal para todos, pero un número finito de $i\in I$. Observe primero que el $\prod_{i\in I}^{\wedge}\mathcal{C}_i$ vive en $\mathrm{Lex}$ (mientras que el subproducto $\coprod_{i\in I}^{\mathrm{Cat}}\mathcal{C}_i$ no). Por otra parte, dado que los mapas de $f_i\colon \mathcal{C}_i\rightarrow \mathcal{D}$$\mathrm{Lex}$, se obtiene un único mapa $f\colon \prod_{i\in I}^{\wedge}\mathcal{C}_i\rightarrow\mathcal{D}$$\mathrm{Lex}$$f((c_i)_{i\in I}) = \prod_{i\in I}f_i(c_i)$; este producto existe como la mayoría de las $f_i(c_i)$ son de la terminal.