Definición libre de coordenadas del operador$\nabla$

Question

Hay un número de puestos en este sitio preguntando preguntas similares y algunos de ellos han sido respondidas (para mi gusto), al menos parcialmente, pero ninguno de dar una respuesta completa que estoy satisfecho con el. Ver los enlaces en la parte inferior de esta pregunta para una pequeña selección de posts pidiendo relacionadas (o incluso el mismo) preguntas.

Mi pregunta es la siguiente. El siguiente es a menudo escrito:

$$ \nabla = \frac{\partial}{\partial_x} \hat{x} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z} $$

Algunas personas le llaman a esto el operador, algunos lo llaman un vector, algunos lo llaman un vector operador, y algunos afirman rotundamente que no es propiamente nada en absoluto, y no debería llamarlo de alguna de estas cosas y que sólo debe tratar como una "anotación de conveniencia".

Entonces, uno puede ir sobre el uso de este vectoriales "operador" para calcular cosas como $\nabla f$, $\nabla \cdot \vec{F}$ o $\nabla \times\vec{F}$ donde el operador es tratada notationally como si se tratara de un vector.

En primer lugar quiero tomar el tema con el final de la afirmación de que es puramente una conveniencia notacional. Creo que es más que una conveniencia notacional por la siguiente razón. Es posible, siguiendo ciertas reglas de transformación, para expresar $\nabla$ en diferentes sistemas de coordenadas, por ejemplo, de forma cilíndrica o esférica. Que podría estar bien, pero hay un punto MÁS que me hace pensar que $\nabla$ debe ser más que una conveniencia notacional. si usted express $\nabla$ en diferentes coordenadas, puede entonces calcular algo como $\nabla \cdot \vec{F}$ en las nuevas coordenadas y llegar a la respuesta correcta. Una respuesta que podría haber llegado a convertir explícitamente el concepto cartesiano de expresión para $\nabla \cdot \vec{F}$ en el nuevo sistema de coordenadas. En otras palabras, el $\nabla$ permite que usted para que usted salte un paso de cálculo que habría tenido que hacer de otra manera. Esto es evidencia de que el símbolo lleva algún tipo de estructura matemática que debe ser capaz de ser capturado en una independiente de la definición.

Con ese fin, estoy interesado en una definición libre de coordenadas de este símbolo. La definición que me dio anteriormente se basa en el uso de las habituales coordenadas Cartesianas arriba. He buscado pero no he sido capaz de encontrar una definición libre de coordenadas de la $\nabla$ símbolo. Puede existir? En particular, estoy interesado en una fórmula, por lo que es algebraicamente evidente cómo se deben calcular los componentes de $\nabla$ en cualquier sistema de coordenadas.

Hay una definición libre de coordenadas de $\nabla$?

Soy consciente de algunas complicaciones con este proyecto que voy a dar una lista aquí:

1) Si va a ser algún tipo de vector o algún tipo de operador, a continuación, no está claro lo que el espacio debe vivir. Por ejemplo, es un objeto que puede tomar una función $f$ y el mapa es un espacio vectorial. Pero al mismo tiempo es un objeto que puede ser alimentado como un argumento a un punto producto, junto con un vector (formulario en un espacio diferente) y devolver un escalar.

2) Si me pongo a la geometría diferencial sombrero se convierte en un muy extraño objeto. En geometría diferencial he llegado a pensar de vectores como el hecho de ser cosas como $\frac{\partial}{\partial x}$ y $\vec{x}$ notación es evitado. Sin embargo el $\nabla$ símbolo de arriba contiene tanto de estas sentado uno al lado del otro. es como un vector de vectores.. La idea de dos vectores sentado junto a la simpatia que me hizo pensar que podría ser algún tipo de rango 2 tensor contravariante, pero creo que puede haber sido un tramo.

3) soy consciente de que la cruz del producto y de la curvatura del operador sólo se definen en 3 dimensiones por lo que no necesita ser señalado que limita la posibilidad de definir un operador de dimensión arbitraria. Estoy feliz de decir que estamos trabajando en 3 dimensiones.

4) entiendo que la idea de la divergencia y la curvatura depende de la presencia de una métrica de un espacio. Ok, eso está bien. Podemos trabajar en un espacio que tiene una métrica que se definen en ella.

5) tal vez la métrica debe ser plana? Incluso eso está bien siempre y como podemos trabajar en los sistemas de coordenadas cilíndricas o esféricas, donde la métrica todavía es plana, sino que ya no tiene un trivial componente de representación. Estoy feliz de restringir el análisis a $\mathbb{R}^3$ si es necesario.

6) por último, si una definición de verdad no puede ser formulado, a continuación, podría, al menos, la respuesta de por qué me puede calcular TANTO $\nabla f$ $\nabla \cdot \vec{F}$ 1) de computación $\nabla f$ o $\nabla \cdot \vec{F}$ en coordenadas xyz, a continuación, convertir todo en forma esférica o 2) calcular $\nabla$ en coordenadas xyz, encubierto para esférica, a continuación, calcular el $\nabla f$ $\nabla \cdot \vec{F}$ y obtener la misma respuesta en ambos casos? Parece ligeramente demasiado poderoso/estructurado para ser SÓLO una conveniencia notacional.

Aquí están algunas otras preguntas relacionadas:

Hay una fórmula general para la del operador $\nabla$ en diferentes sistemas de coordenadas?

Puede $\nabla$ ser llamado un "vector" de manera significativa?

Coordinar la transformación del operador

Answer 1

Deje $V$ $n$- dimensiones reales espacio vectorial equipado con producto interior $\langle.,.\rangle$ $f\colon V\to\mathbb R$ una función derivable. A continuación,$D_pf$, el diferencial de $f$$p$, es una forma lineal $V\to\mathbb R$. Es bien conocido que en la presencia de un producto interior existe un único vector, la llamamos $\nabla^{\langle.,.\rangle}_pf$, lo que representa que la forma lineal, es decir, para todos los $v\in V$ tenemos que $$D_pf(v)=\langle \nabla^{\langle.,.\rangle}_pf,v\rangle.$$ En caso de que el producto interior es el habitual punto producto que simplemente indican que el vector como $\nabla_pf$.

Muy coordinar libre, ¿no?

Answer 2

Mirando las coordenadas libre de expresiones que he encontrado en la Wikipedia, es fácil convencerse de que $\mathrm{grad}$, $\mathrm{curl}$, y $\mathrm{div}$ son instancias del exterior derivado de disfraz: basta pensar en el musical isomorphisms y la estrella de Hodge como de los medios de identificación. En el mismo artículo se puede encontrar una coordenada libre de fórmula, que puede ser tomado como la definición de los exteriores de derivados. Esta observación esencialmente cierra la pregunta.

La clásica cálculo vectorial ofertas con $\mathbb{R}^3$, el cual posee algunas específicas o excepcionales estructuras, en particular, tiene una canónica (Euclidiana) sistema de coordenadas, la métrica Euclidiana, y la cruz del producto, que todos son ampliamente utilizados en la teoría y cálculos. Si desea tor restict ti mismo para este caso, entonces dudo de que siempre es posible encontrar un puro coordinar una manera de expresar las cantidades en consideración (es decir,$\nabla f$, $\nabla \cdot \vec{F}$, y $\nabla \times\vec{F}$), como el espacio de $\mathbb{R}^3$ sí está definido explícitamente la presentación de una única coordenada gráfico! En otras palabras, usted está obligado a lidiar con las coordenadas y la dimensión relacionada con trucos para manejar estas cantidades.

Volviendo a las expresiones en Wikipedia, un aviso de que el uso de la estrella de Hodge, pero nosotros no hemos recibido todavía ninguna respuesta convincente sobre cómo dar una coordenada libre definición. Esto duplica mi pesimismo, pero puedo estar equivocado y pasar por alto algo importante.

Sin embargo, creo que esta pregunta y el otro intenta responder son muy perspicaces. Para una mayor discusión sugiero buscar en las referencias.

La mejor foto que muestra que $\mathrm{grad}$, $\mathrm{curl}$, y $\mathrm{div}$ están estrechamente relacionados, se da en [1], donde se combinan en el complejo de de Rham. Este texto es, quizás, demasiado avanzado, pero un diligente de pregrado debe ser capaz de seguir los dos primeros párrafos allí, y los detalles pueden ser recuperados a partir de [2] y [3].

Referencias:

1. M. G. Eastwood, Un complejo de elasticidad lineal, http://calvino.polito.it/~salamon/seminario/srni99.pdf
2. W. G. Faris,campos Vectoriales y formas diferenciales, 25 de septiembre de 2008, http://math.arizona.edu/~faris/methodsweb/colector.pdf
3. E. H. Goins, T. M. de Washington, Una Sabrosa Combinación: Cálculo Multivariable y Formas Diferenciales, https://arxiv.org/abs/0910.0047

Answer 3

Aquí están mis dos centavos. Las definiciones siguientes son independientes de las coordenadas. Dada una función escalar $F$, definir $\nabla F$ como la función tal que la integral de línea es igual a la variación neta de

$$ \int_{\vec{a}}^{\vec{b}} \nabla F \cdot d\vec{s} = F(\vec{b}) - F(\vec{a})$$

Dado un vector función de $\vec{F}$, definir $\nabla \cdot \vec{F}$ como la función tal que el volumen integral es igual al flujo

$$ \iiint_V \nabla \cdot \vec{F} \; dV = \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} $$

Dado un vector función de $\vec{F}$, definir $\nabla \times \vec{F}$ como la función tal que la superficie de la integral es igual a la circulación

$$ \iint_S \nabla \times \vec{F} \cdot d\vec{S} = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$$

Estoy usando la retrospectiva un poco, porque no hay ninguna razón para esperar que existen funciones de la satisfacción integral de las definiciones, o si ellos son únicos. Aparte de eso, el propósito de un derivado (en física de la aplicación) a ser integrados, o servir en una aproximación lineal. Las definiciones anteriores resaltar este uso práctico. De todos modos, en lugar de las 3 "a gran escala" de las definiciones anteriores (que no tengo ninguna razón para sospechar que existen funciones o son únicos), que podría haber dado 3 infinitesimal definiciones (límite de definiciones). La divergencia puede ser definida como el límite de

$$ \nabla \cdot \vec{F} = \lim_{Vol\to 0} \frac{\iint_{\text{surface}} \vec{F} \cdot d\vec{S}}{\text{Vol}}$$

Es decir, la divergencia es el flujo a través de la superficie de un infinitesimal de volumen dividido por el volumen. Una instantánea de flujo por unidad de volumen. No sé cómo se podría llevar a cabo este límite por la misma razón que no sé cómo se podría llevar a cabo el límite de la densidad de masa $ = \lim_{V\to0} m(V)/V$ porque no tengo idea de cómo iba a escribir $m(V)$ analíticamente. Yo sé lo que está pasando, pero sería difícil llevar a cabo la operación. Una mejor definición de la densidad es $\int \rho dV = m$ (todavía tenemos la singularidad problema en $\rho$ - entonces tal vez la definición más precisa sería el límite de la definición - o usted podría ampliar la definición de integral para cualquier volumen (una parte de un todo, lo que sea) de lo que podría hacer $\rho$ única). De todos modos, también Se puede dar un límite de definición de la curvatura (circulación por unidad de área) y el gradiente (altura por unidad de longitud), sin embargo son un poco más complicado debido a que el producto escalar (me tiene que preocuparse acerca de las direcciones y demás cosas en una definición más precisa). Si quieres algo un poco más explícita (en términos de cómo se lleve a cabo la operación), es posible escribir cada operación en una de coordenadas, de manera libre. Por ejemplo, tras el Apéndice a de Griffiths libro de Introducción a la Electrodinámica, puede definir la divergencia como

$$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{1}{fgh}\Big[\frac{\partial}{\partial u}(ghF_u) + \frac{\partial}{\partial v}(fhF_v) + \frac{\partial}{\partial w}(fgF_w)\Big] $$

donde $u,v,w$ indican algunos de coordenadas en el espacio (como el cartesiano $x,y,z$ o esférica $r,\theta, \phi$). En coordenadas cartesianas, $f = g = h = 1$. En esféricas, $f = 1$, $g = r$, y $h = r\sin\theta$. Él hace esto para que el rizo y gradiente. Para ser general, se utiliza algún tipo de parametrización pero no he estudiado completamente. El uso de las integrales para definir derivados podría ser análoga a utilizar, además de definir la resta (si lo permiten los números negativos). De todos modos, espero que esto ayude