En la página de Wolfram MathWorld sobre Funciones Theta de Jacobi , dice que las funciones Theta son análogos elípticos de la función exponencial. ¿Esto se debe a que satisfacen ciertas propiedades que la función exponencial satisface? Si es así, ¿qué propiedades?
La afirmación "Las funciones Theta son análogos elípticos de la función exponencial" no es correcta porque no especifica en qué sentido son análogos elípticos. Es más exacto afirmar que las funciones elípticas de Jacobi (que son cocientes de las funciones theta) son los análogos elípticos de las funciones trigonométricas en el siguiente sentido. El artículo de Wikipedia Funciones elípticas de Jacobi declara
La relación con las funciones trigonométricas está contenida en la notación, por ejemplo, por la notación coincidente sn para sen.
Las funciones elípticas de Jacobi son doblemente periódico que generaliza el solo periodicidad de las funciones trigonométricas a las que se reducen. De hecho, la notación actual, junto con la notación utilizada por Jacobi es la siguiente: $$\textrm{sn}(u, k) := \sin( \textrm{am}(u, k)). $$ $$\textrm{cn}(u, k) := \cos( \textrm{am}(u, k)). $$ $$\textrm{dn}(u, k) := \Delta( \textrm{am}(u, k)). $$ Cuando $\, k=0, \,$ entonces $\, \textrm{am}(u, 0) = u \,$ y esto lleva a $$ \textrm{sn}(u, 0) = \sin(u), \, \textrm{cn}(u, 0) = \cos(u), \, \textrm{dn}(u,0) = 1. $$ Cuando $\, k=1, \,$ entonces $\,\textrm{am}(u,1) = \textrm{gd}(u),\,$ y esto lleva a $$ \textrm{sn}(u, 1) = \tanh(u), \, \textrm{cn}(u, 1) = \textrm{dn}(u, 1) = \textrm{sech}(u). $$ Así, las funciones elípticas de Jacobi son una generalización común de las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas.
Probablemente no sea una respuesta completa, porque no soy un experto en $\vartheta$ pero por lo que sé, satisfacen un par de propiedades que recuerdan a la periodicidad de las funciones exponenciales.
Parece que hay un montón de $\vartheta$ funciones en esa página, pero la definición que conozco es que $$\vartheta(z, \tau) = \sum_{n=- \infty}^{\infty}e^{\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z}$$
Así que estos artilugios se definen en términos de funciones exponenciales ordinarias, y tienen algunas propiedades de periodicidad.
Tenemos
$$\vartheta(z+1, \tau) = \vartheta(z, \tau)$$ ya que el aumento de $z$ por $1$ sólo escupe un $e^{2\pi i} = 1$ en cada sumando, y también tenemos para los enteros $\alpha, \beta$
$$ \vartheta(z + \alpha + \beta \tau, \tau ) = \vartheta(z, \tau) e^{- \pi i \beta^2 \tau - 2 \pi i \beta z} $$
que es una especie de cuasi-periodicidad .
Ya veo, ¿así como las exponenciales complejas normales tienen un período correspondiente al círculo unitario, las funciones theta tienen 2 períodos correspondientes a una elipse unitaria?
@aleden: las funciones theta no son doblemente periódicas, son sus cocientes las funciones elípticas las que son doblemente periódicas. También las funciones elípticas se llaman así porque se obtienen como inversas de ciertas integrales que se encuentran típicamente en la búsqueda de la longitud de arco de una elipse.
Ya veo. Sin embargo, he visto conferencias sobre cómo las funciones elípticas de Jacobi son análogas a las funciones trigonométricas.
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Periodicidad ${}$ ?
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Dudo que se refiera a la periodicidad ya que las funciones elípticas son todas doblemente periódicas. Probablemente es una referencia a que las funciones elípticas son expresables en términos de funciones theta, como el sin y el cos lo son en términos de exp. Sin embargo, esto es realmente una exageración ya que la relación entre ellas no es análoga a la relación entre, por ejemplo, seno y exp.
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La analogía es que las funciones elípticas son los cocientes de las funciones theta, mientras que las funciones circulares son los cocientes de las funciones exponenciales. Pero ésta no es una analogía profunda. Las funciones Theta son mucho más sorprendentes que las funciones exponenciales.
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Ver Paramanand's notas de matemáticas para más información sobre estas increíbles funciones :)
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@GrantB.: Me alegra saber que a alguien le han gustado esas notas.
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Por supuesto. Haces una excelente introducción a las funciones elípticas y modulares. Son las que hicieron que me interesara por esta área.