4 tarjetas provienen de un paquete sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 todas de palos diferentes?

Question

4 cartas se extraen de un paquete sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener todos los 4 diferentes palos?

He aquí cómo me trató de resolver:

Para el primer sorteo, hemos 52 cartas, y tenemos que elegir un traje. Así, la probabilidad de que esto es $\frac{13}{52}$.

Para el segundo sorteo, sólo el 51 tarjetas están a la izquierda. El segundo juego que tiene que ser seleccionado, por lo que hay 13 cartas de ese palo. La probabilidad es $\frac{13}{51}$.

Del mismo modo, el tercer y cuarto sorteo han probabilidades de $\frac{13}{50}$ $\frac{13}{49}$ respectivamente.

Ya que los sorteos son independientes, el total de la probabilidad se convierte en $$\frac{13}{52} \times \frac{13}{51} \times \frac{13}{50} \times \frac{13}{49}$$

Pero mi libro dice que la respuesta es $\frac{{13\choose 1} \times {13 \choose 1} \times {13\choose1} \times {13\choose1}}{52 \choose 4}$.

Mi respuesta difiere por un factor de $4!$. ¿Qué hice mal?

Answer 1

El siguiente utiliza una idea un poco diferente que está cerca de los tuyos.

No importa lo que la primera tarjeta. Sea lo que sea, la probabilidad de que la siguiente es de diferente palo es $\frac{39}{51}$.

Dado que las dos primeras cartas eran de diferentes palos, la probabilidad de que el próximo sorteo es de un nuevo traje es $\frac{26}{50}$. Y dado que los tres primeros fueron de diferentes palos, la probabilidad de que la cuarta es de un nuevo traje es $\frac{13}{49}$.

Por lo tanto nuestra probabilidad es $\frac{39}{51}\cdot\frac{26}{50}\cdot \frac{13}{49}$. Si te gusta la simetría, y el que no, puede que desee poner un $\frac{52}{52}$ frente a la expresión.

Observaciones: $1.$, Se calcula la probabilidad de que se obtengan los trajes en un orden específico, decir $\heartsuit,\spadesuit,\diamondsuit,\clubsuit$. Pero hay $4!$ pedidos en los que los trajes que podría venir. Que cuentas de tu ser por un factor de $4!$.

$2.$ El libro de la solución se basa en un poco de idea diferente. Basta con mirar en la mano final terminamos con, no en el orden en que nos dieron las tarjetas. Hay $\binom{52}{4}$ igualmente probable manos. Ahora contamos con el favourables. El número de manos con exactamente una pala, un diamante, un corazón, y un club es $13^4$. Para la pala puede ser elegido en $13$ formas, y para cada elección el corazón puede ser elegido en $13$ formas, y así sucesivamente.

Answer 2

Tienes que multiplicar tu respuesta con $4!$, porque hay maneras de $4!$ en el cual usted puede elegir el orden de los trajes de $4$.