Matriz inversa de la matriz (todas las filas son iguales) más matriz de identidad

Question

Sea una matriz donde todas las filas son iguales, por ejemplo, $A$

$$ A = \left [\begin{array}{ccc} a{1} & a{2} & a{3} \ a{1} & a{2} & a{3} \ a{1} & a{2} & a_{3} \end{matriz} \right] $$

Entonces ¿qué es la inversa de la matriz $B=I+A$, donde $I$ es la matriz identidad? Por ejemplo,

$$ B = \left [\begin{array}{ccc} a{1}+1 & a{2} & a{3} \ a{1} & a{2}+1 & a{3} \ a{1} & a{2} & a_{3}+1 \end{matriz} \right] $$

Tengo una conjetura, que cómputo ha confirmado hasta ahora:

$$B^{-1}=I-\frac{A}{\mbox{tr}(A)+1}$$

¿Por qué es esto cierto?

Answer 1

$A=ea^T$ donde $a=\begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{bmatrix}$ y $e = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1\end{bmatrix}.$

Ahora, podemos utilizar la fórmula de Sherman-Morrison, que establece que un $C$ de la matriz es invertible, luego es invertible $C+uv^T$ si $1+v^TC^{-1}u \ne 0$y $$(C+uv^T)^{-1}=C^{-1}-\frac{C^{-1}uv^TC^{-1}}{1+v^TC^{-1}u}.$ $ $B=I+ea^T$, por lo tanto $B$ es invertible if $1+a^Te=1+\sum_{i=1}^3a_i=1+trace(A) \ne 0.$ y $$B^{-1}=I-\frac{ea^T}{1+trace(A)}=I-\frac{A}{1+trace(A)}$ $

Answer 2

En el siguiente, supongamos que $\mbox{tr}(A)+1\not = 0$.

Tenemos $B=A+I$. Permítanos calcular $C:=(A+I)\left(I-\frac{A}{\mbox{tr}(A)+1}\right)$ y ver si podemos obtener la matriz identidad.

$$C=-\frac{1}{\mbox{tr}(A)+1}A^2+\frac{\mbox{tr}(A)}{\mbox{tr}(A)+1}A+I$$

de modo que para obtener el resultado deseado, tenemos que demostrar que el $A^2=\mbox{tr}(A)A$.

El $i,j$ coeficiente de $A^2$ está dado por $$\sum_{k=1}^n A_{i,k}A_{k,j}=\sum_{k=1}^n a_ka_j=\mbox{tr}(A)a_j=\mbox{tr}(A)A_{i,j} $$

Así que, de hecho, se obtiene el deseo de identidad.

NB : Para justificar que la matriz $B=A+I$ es invertible si y sólo si $\mbox{tr}(A)+1\not = 0$, tenga en cuenta que el cálculo anterior de hecho establece la identidad de $$(\mbox{tr}(A)+1)I=(A+I)((\mbox{tr}(A)+1)I-A)$$
a partir de la cual la equivalencia de la siguiente manera.

Answer 3

El inverso del $B$: $$B^{-1}=\frac{\text{adj}{(B)}}{\det(B)}.$ $ el determinante de la $B$: $$ \det (B) =\begin{vmatrix}a{1}+1 & a{2} & a{3} \ a{1} & a{2}+1 & a{3} \ a{1} & a{2} & a{3}+1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a{1}+1 & a{2} & a{3} \ -1 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 1\end{vmatrix} = a_1, a_2, a_3 +1. $$ el adjunta de $B$: $$ \text {ADJ.} (B) = \text {C} ^ T = \\begin{pmatrix} (a_2+1)(a_3+1)-a_2a_3 & -a_2(a_3+1)+a_2a_3 & a_2a_3-a_3(a_2+1) \ -a_1(a_3+1)+a_1a_3 & (a_1+1)(a_3+1)-a_1a_3 & -a_3(a_1+1)+a_1a_3 \ a_1a_2-a_1(a_2+1) & -a_2(a_1+1)+a_1a_2 & (a_1+1)(a_2+1)-a_1a_2 \end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a_1+a_2+a_3+1-a_1 & -a_2 & -a_3 \ -a_1 & a_1+a_2+a_3+1-a_2 & -a_3 \ -a_1 & -a_2 & a_1+a_2+a_3+1-a_3 \end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a_1+a_2+a_3+1 & 0 & 0 \ 0 & a_1+a_2+a_3+1 & 0 \ 0 & 0 & a_1+a_2+a_3+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ a_1 & a_2 & a_3 \ a_1 & a_2 & a_3 \end-{pmatrix}. Nota de $$: $C^T$ es la transpuesta de la matriz cofactor de $B$.

Por lo tanto, el resultado sigue.