Para evaluar…

Question

¿Cómo empiezo a evaluar esto-

ps

¿Cuál debería ser mi primer intento de este tipo de problema donde ...

• El denominador y el numerador son del mismo grado
• El denominador implica un exponente fraccional como$$\int\frac{1+x^4}{(1-x^4)^{3/2}}dx$.

Nota: Soy competente en todo tipo de métodos básicos de evaluación de integrales.

Answer 1

$$\int\frac{1+x^4}{(1-x^4)^{3/2}}dx=\int\frac{1+x^4}{(x^{-2}-x^2)^{3/2}x^3}dx=\int\frac{x^{-3}+x}{(x^{-2}-x^2)^{3/2}}dx$ $ Ahora adivina quién es el derivado del numerador.

Answer 2

Aquí hay otro enfoque: si dividimos la integral e integramos por partes, encontramos \begin{align} \int \limits_0^x \frac{1+t^4}{(1-t^4)^{3/2}} \, \mathrm{d} t &= \int \limits_0^x \frac{1}{(1-t^4)^{3/2}} \, \mathrm{d} t + \int \limits_0^x \frac{t^3}{(1-t^4)^{3/2}} t \, \mathrm{d} t \\ &= \int \limits_0^x \frac{1}{(1-t^4)^{3/2}} \, \mathrm{d} t + \left[\frac{t}{2\sqrt{1-t^4}}\right]_{t=0}^{t=x} - \frac{1}{2} \int \limits_0^x \frac{1-t^4}{(1-t^4)^{3/2}} \, \mathrm{d} t \\ &= \frac{1}{2} \int \limits_0^x \frac{1+t^4}{(1-t^4)^{3/2}} \, \mathrm{d} t + \frac{x}{2\sqrt{1-x^4}} \end {align} para$x \in (-1,1)$. Ahora podemos resolver esta ecuación para su integral.

Answer 3

El uso de @Fimpellizieri 's de la observación \begin{equation} \frac{d\,[f(x)]^a}{dx}=\frac{d\,f^a}{df}\frac{d\,f}{dx}=af^{a-1}\cdot f'=a\frac{f'}{f^{1-a}}\tag{1} \end{equation} nos encontramos con la integral en cuestión pertenece a una familia que se puede encontrar desde el uso de $(1)$.

Primero considere el $I=\int\frac{1+x^2}{(1-x^2)^{2}}dx$ y dejar $f(x)=x^{-1}-x$, $f'(x)=-x^{-2}-1=-1\cdot(x^{-2}+1)$, $a=-1$. Ahora por $(1)$ $$\frac{d\,[f(x)]^{-1}}{dx}=-1\cdot\frac{(-1\cdot(x^{-2}+1))}{(x^{-1}-x)^{1-(-1)}} =\frac{(x^{-2}+1)}{(x^{-1}-x)^{2}}=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$$ y así $$I=\int \frac{(1+x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}dx=\int d\,([f(x)]^{-1})=[f(x)]^{-1}+c=(x^{-1}-x)^{-1}+c=\frac{x}{1-x^2}+c$$

Para la próxima vamos a $f(x)=x^{-2}-x^{2}$, $f'(x)=-2x^{-3}-2x=-2\cdot(x^{-3}+x)$, $a=-\frac{1}{2}$. Ahora por $(1)$ $$\frac{d\,[f(x)]^{-1/2}}{dx}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{(-2\cdot(x^{-3}+x))}{(x^{-2}-x^{2})^{1-(-\frac{1}{2})}} =\frac {x^{-3}+x)}{(x^{-2}-x^{2})^{3/2}}=\frac{1+x^4}{(1-x^4)^{3/2}}$$ y así $$I=\int \frac{1+x^4}{(1-x^4)^{3/2}}dx=\int d\,([f(x)]^{-1/2})=[f(x)]^{-1/2}+c=(x^{-2}-x^{2})^{-1/2}+c=\frac{x}{(1-x^4)^{1/2}}+c$$

Para la próxima en el patrón que hemos \begin{align*} I&=\int\frac{1+x^6}{(1-x^6)^{4/3}}dx=\int\frac{(1+x^6)/x^4}{(1-x^6)^{4/3}/x^4}dx=\int\frac{x^{-4}+x^2}{(x^{-3}-x^3)^{4/3}}dx\\ &=\int d\left((x^{-3}-x^3)^{-1/3}\right)=(x^{-3}-x^3)^{-1/3}+c=\frac{x}{(1-x^6)^{1/3}}+c \end{align*} En general, tenemos (con $f(x)=x^{-n}-x^{n}$, $f'(x)=-n\cdot(x^{-(n+1)}+x^{n-1})$, $a=-\frac{1}{n}$) \begin{align*} I&=\int\frac{1+x^{2n}}{(1-x^{2n})^{(n+1)/n}}dx=\int\frac{(1+x^{2n})/x^{(n+1)}}{(1-x^{2n})^{(n+1)/n}/x^{(n+1)}}dx=\int-\frac{1}{n}\cdot\frac{\left(-n\cdot(x^{-{(n+1)}}+x^{n-1})\right)}{(x^{-n}-x^{n})^{(n+1)/n}}dx\\ &=\int d\left((x^{-n}-x^n)^{-1/n}\right)=(x^{-n}-x^n)^{-1/n}+c=\frac{x}{(1-x^{2n})^{1/n}}+c \end{align*} dando el resultado general: \begin{equation} I=\int\frac{1+x^{2n}}{(1-x^{2n})^{(n+1)/n}}dx=\frac{x}{(1-x^{2n})^{1/n}}+c \end{equation}

Answer 4

Este es un método elemental para los begigners. Se puede hacer con manipulación algebraica simple.

$\frac{1+x^4}{(1-x^4)^{3/2}}=\frac{2x^4}{(1-x^4)^{3/2}}+(1-x^4)^{-1/2}= x.[(1-x^4)^{-1/2}]'+ x'.(1-x^4)^{-1/2}=[x(1-x^4)^{-1/2}]'$

ps