¿Cuántos componentes conectados para la intersección $S \cap GL_n( \mathbb R)$ donde $S \subset M_n( \mathbb R)$ es un subespacio lineal?

Question

Deje que $S \subset M_n( \mathbb R^n)$ ser un subespacio lineal. ¿Hay alguna forma de determinar cuántos componentes conectados hay para $S \cap GL_n( \mathbb R)$ ? Asumamos que la intersección no está vacía. $GL_n( \mathbb R)$ tiene dos componentes conectados. ¿Esta intersección tiene dos componentes conectados o posiblemente más?

Answer 1

Puede que tenga más. Considere $S \subseteq M_2( \newcommand { \RR }{ \mathbb {R}} \RR )= \newcommand { \set }[1]{ \left\ {{#1} \right\ }} \set { \newcommand { \bmat }{ \begin {pmatrix}} \newcommand { \emat }{ \end {pmatrix}} \bmat a & b \\c &d \emat : a,b,c,d \in\RR }$ definido por las ecuaciones $a=d$ , $b=c$ . Esto da un subespacio bidimensional. $ \det $ restringido a este subespacio tiene la forma $a^2-b^2$ así que la intersección del complemento de $GL_2( \RR )$ con $S$ son dos líneas que se intersectan ( $a=b$ y $a=-b$ ), que divide el plano en cuatro partes. De ahí que $S \cap GL_2( \RR )$ tiene cuatro componentes conectados en este caso.

No tengo ideas de cómo calcular el número de componentes conectados en general, sin embargo pensé que esto podría ser útil.