Geometría: Demuestra que dos ángulos no son iguales

Question

(Esto es sólo una pregunta por diversión. Hoy he visto un logotipo comercial y me he inspirado.

He publicado respuestas para esta pregunta y usted puede publicar respuestas alternativas).

Pregunta

En la figura, $\triangle ABC$ es la mitad de un cuadrado y $M$ es el punto medio de $BC$ . Demostrar que $\alpha\neq\beta$ .

Solución

$\triangle ABM$ y $\triangle AMC$ tienen la misma superficie. Tienen un lado común $AM$ . Obsérvese que el área de $S=\frac12(AB)(AM)\sin\alpha=\frac{1}{2}(AC)(AM)\sin\beta$ . Pero $AB\neq AC$ . Por tanto, la igualdad sólo es válida si $\alpha\neq\beta$ .

Answer 1

Por contradicción: si los ángulos fueran iguales, entonces $BM:MC=AB:AC$ (teorema de la bisectriz del ángulo) y como consecuencia $BM>MC$ lo cual es falso.

Answer 2

Una prueba sobre todo visual:

Construir un segundo cuadrado con borde $BC$ como se muestra. Dado que $AC=BD$ , $CM=BM$ y $\angle ACM$ y $\angle DBM$ son ángulos rectos, $\triangle ACM \cong \triangle DBM$ .

Por lo tanto $\angle CMA \cong \angle BMD$ Así que $A$ , $M$ y $D$ son colineales. Y $m\angle BDM = m\angle CAM = \beta$ .

Ahora bien $\alpha = \beta$ entonces $\triangle ABD$ es isósceles, con $AB = BD$ . Pero esto es claramente falso, ya que $AB = BD \sqrt{2}$ . Así que $\alpha \neq \beta$ .

Answer 3

$\hspace{5cm}$

Si $\alpha=\beta$ entonces: $$1=\tan 45^\circ=\tan(\alpha+\beta)=\tan(2\beta)=\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\frac{2\cdot \frac12}{1-\left(\frac12\right)^2}=\frac43,$$ por lo tanto, una contradicción. Entonces, $\alpha\ne \beta$ .

Answer 4

Construir la circunferencia de $\triangle AMC$ y traducir $\triangle BMA$ tal que $BM$ coincide con $MC$ . Si los dos ángulos fueran iguales, $A'$ (el tercer vértice del triángulo trasladado) estaría en el círculo, pero no es así. Por tanto, los dos ángulos no son iguales.

Answer 5

Sea $C'$ sea la imagen de la proyección ortogonal de $M$ en $AB$ . Supongamos al contrario que $\alpha=\beta$ . Entonces, $MCA$ y $MC'A$ son triángulos congruentes. Por lo tanto, $MB=MC'$ y aquí hay una contradicción, que dejaré como un misterio. De hecho, se puede utilizar un argumento similar para demostrar que $\alpha<\beta$ .