Principio y operadores de la incertidumbre de la energía del tiempo

Question

En la mayoría de los ejemplos, observo que el principio de incertidumbre para el tiempo y la energía se da entre la masa y la duración. La UP para el tiempo y la energía es $$ \ Delta t \, \ Delta E \ geq \ frac h {4π} $$ donde$$Δt =σ_A \frac{dt}{d\langle \hat A\rangle}$ $

con$σ_A$ siendo la desviación estándar del operador$\hat{A}$. Pero, ¿qué operador debería uno definir para que$Δt$ se convierta en la vida útil de una partícula?

Answer 1

Generalmente, cuando se quiere investigar la vida de $\tau$ de una partícula (o un cuasi-partícula), lo que, básicamente, se busca la forma de la onda asociada a la función de $\psi$ es significativamente decreciente :

$$\psi\sim\psi_0\,e^{-\left(\frac{1}{\tau}+\,i\frac{E}{\hbar}\right)t}$$

Consideremos una partícula libre con una energía dada $E$. Como $\langle E\rangle=E$ es fijo, entonces la desviación estándar de la energía cae a cero : $\sigma_H=\Delta E=0$ . De acuerdo con el principio de incertidumbre, usted tiene que verificar :

$$\Delta E \Delta t \sim \hbar$$

donde $\Delta t$ es la característica de tiempo que se necesita para la energía de cambiar significativamente.

En nuestro caso, se deduce que el $\Delta t\rightarrow\infty$. Aquí usted puede leer directamente $\Delta t$ como la vida de sus partículas, que tiende a ser infinito, porque su sistema está en un estado estacionario (es decir, su energía no cambia).

De hecho, la "correcta" de la definición de $\Delta t$ :

$$\Delta t = \frac{\sigma_\hat{O}}{|\frac{d\langle\hat{O}\rangle}{dt}|}$$

le dará a usted la vida útil de sus partículas como el observables $\hat{O}$ le permite seguir la dinámica de la función de onda del sistema.

Pero en general, esta definición no es muy útil. Generalmente, lo que se hace es determinar la desviación estándar de la energía $\Delta E$ de su sistema y, a continuación, simplemente decir que los asociados de la vida es cualitativamente : $$\tau\sim\frac{\hbar}{\Delta E}$$ Otra posibilidad es utilizar el Fermi de la Regla de Oro que le da la transición de la tasa de $\Gamma$ asociado a la partícula estado de la búsqueda. Entonces, la vida de la partícula simplemente seguir como :

$$\tau\sim\frac{1}{\Gamma}$$