¿Cada elemento del cierre estrella débil de un conjunto pertenece a la clausura de débiles estrellas de un subconjunto acotado?

Question

Siento que esto debe ser una pregunta estúpida monumental. Decir $X$ es un espacio de Banach, $S\subset X^$, y $x^$ es el débil cierre de $S$. ¿Debe mentir $x^$ en el débil * cierre de algún subconjunto limitado por norma de $S$?

(Si $x^$ es el débil límite de una secuencia de elementos de $S$ es claro de Banach-Steinhaus. Pero un convergente neto de escalares necesita no ser limitada...)

Answer 1

El Krein-Smulian teorema dice que para que un convexo conjunto $S$, después de haber débil*-cerrado intersecciones con el cierre de bolas implica ser débil*-cerrado. El hecho de que la convexidad es necesario que sugiere que la respuesta a su pregunta debe ser negativa. Y lo que es.

Deje $X=\ell^2$. En el doble espacio, también se $\ell^2$, considerar el "infinito elipsoide" $$ S = \left\{y : \sum_{n=1}^\infty y_n^2/n^2=1\right\} $$ Cada línea a través del origen reúne $S$; por lo tanto, $0$ está en la debilidad de cierre de $S$.

Por otro lado, $0$ no está en la debilidad de cierre de la intersección $S\cap B_R$ donde $B_R=\{y:\|y\|\le R\}$. De hecho, considerar a los débiles-abrir conjuntos de $$ U_N = \left\{y: \sum_{n=1}^N y_n^2 < \frac12\right\} $$ Si $N$ es lo suficientemente grande, entonces para cada a $y\in U_N\cap B_R $ hemos $$ \sum_{n=1}^\infty y_n^2/n^2 < \frac12+ \frac{R^2}{(N+1)^2} < 1 $$ por lo tanto $U_N\cap (B_R\cap S)= \varnothing$.

Answer 2

Además de la respuesta por 404, tengo dos más contraejemplos en $\ell^2$:\begin{align*} A &= { \sqrt{n} \, e_n : n \in \mathbb{N}} \ B &= { e_m + m \, e_n : m,n \in \mathbb{N}, 1 \le m